Закон Кюри

Зако́н Кюри́ — физический закон, описывает магнитную восприимчивость парамагнетиков, которая при постоянной температуре для этого вида материалов приблизительно прямо пропорциональна приложенному магнитному полю. Закон Кюри постулирует, что при изменении температуры и постоянном внешнем поле, степень намагниченности парамагнетиков обратно пропорциональна температуре:

$M=C\cdot {\frac {B}{T}},$

где в единицах Международной системе единиц (СИ): $M$ — получаемая намагниченность материала; $B$ — магнитное поле, измеренное в теслах; $T$ — абсолютная температура в кельвинах; $C$ — постоянная Кюри данного материала. Это соотношение, полученное экспериментально Пьером Кюри, выполняется только при высоких температурах или слабых магнитных полях. В обратном случае — то есть при низких температурах или при сильных полях — намагниченность не подчиняется этому закону.

Вывод закона с использованием квантовой статистической механики

Магнитная восприимчивость парамагнетика как функция температуры.

Простые модели парамагнетиков основываются на предположении, что эти материалы состоят из частей или областей (парамагнетонов), которые не взаимодействуют друг с другом. Каждая область имеет собственный магнитный момент, который можно обозначить векторной величиной ${\vec {\mu }}$. Энергия момента магнитного поля может быть записана следующим образом:

$E=-{\vec {\mu }}\cdot {\vec {B}}.$

Области с двумя состояниями (спин-1/2)

Для того, чтобы упростить вывод, предположим, что каждая из областей рассматриваемого парамагнетика имеет два состояния момента, направление которого может совпадать с направлением магнитного поля или быть направленным в противоположную сторону. В данном случае возможны только два значения магнитного момента $\mu$, $-\mu$ и два значения энергии: $E_{0}=-\mu B$ и $E_{1}=\mu B.$ При поиске магнитной восприимчивости парамагнетика определяется вероятность для каждой области оказаться в состоянии, сонаправленном магнитному полю. Другими словами, определяется математическое ожидание намагниченности материала $\mu$:

$\left\langle \mu \right\rangle =\mu P\left(\mu \right)+(-\mu )P\left(-\mu \right)={1 \over Z}\left(\mu e^{\mu B\beta }-\mu e^{-\mu B\beta }\right)={2\mu \over Z}\operatorname {sh} (\mu B\beta ),$

где вероятность системы описывается распределением Больцмана, статистическая сумма $Z$ обеспечивает нормализацию вероятностей. Нормирующая функция для одной области может быть представлена следующим образом:

$Z=\sum _{n=0,1}e^{-E_{n}\beta }=e^{\mu B\beta }+e^{-\mu B\beta }=2\operatorname {ch} \left(\mu B\beta \right).$

Таким образом, в двухспиновой модели мы имеем:

$\left\langle \mu \right\rangle =\mu \operatorname {th} \left(\mu B\beta \right).$

Используя полученное выражение для одной области, получаем намагниченность всего материала:

$M=N\left\langle \mu \right\rangle =N\mu \operatorname {th} \left({\mu B \over kT}\right).$

Выведенная выше формула носит название уравнения Ланжевена для парамагнетиков. П. Кюри в ходе экспериментов обнаружил приближение к этому закону, которое выполнялось при высоких температурах и слабых магнитных полях. Предположим, что абсолютное значение температуры $T$ велико, а $B$ мало. В данном случае, иногда называемом режимом Кюри, величина аргумента гиперболического тангенса мала:

$\left({\mu B \over kT}\right)\ll 1.$

И так как известно, что в случае $|x|\ll 1$ выполняется соотношение

$\operatorname {th} x\approx x,$

получаем результат:

$\mathbf {M} (T\rightarrow \infty )={N\mu ^{2} \over k}{\mathbf {B} \over T},$

где константа Кюри равна $C=N\mu ^{2}/k.$ Также следует отметить, что в противоположном случае низких температур и сильных полей $M$ и $N\mu$ имеют тенденцию принимать максимальные значения, что соответствует случаю, когда все области имеют магнитный момент, совпадающий по направлению с магнитным полем.

Общий случай

В общем случае произвольного распределения направлений магнитных моментов формула становится несколько более сложной (см. англ. Brillouin function). Как только значение спина приближается к бесконечности, формула для магнитной восприимчивости принимает классический вид.

Получение с помощью классической статистической механики

Альтернативный подход предполагает, что парамагнетоны представляют собой области со свободно вращающимися магнитными моментами. В данном случае их положение определяется углами в сферических координатах, а энергия одной области представляется в виде:

$E=-\mu B\cos \theta ,$

где $\theta$ — угол между направлением магнитного момента и направлением магнитного поля, которое, предположим, направлено вдоль координаты $z$. Соответствующая функция для одной области будет иметь вид:

$Z=\int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{\pi }d\theta \sin \theta \exp(\mu B\beta \cos \theta ).$

Как видно, в данном случае нет явной зависимости от угла $\phi$, и мы также можем осуществить замену переменной $y=\cos \theta$, что позволяет получить:

$Z=2\pi \int _{-1}^{1}dy\exp(\mu B\beta y)=2\pi {\exp(\mu B\beta )-\exp(-\mu B\beta ) \over \mu B\beta }={4\pi \sinh(\mu B\beta ) \over \mu B\beta .}$

Математическое ожидание компоненты $z$ будет соответствовать степени намагниченности, а остальные две обратятся в нуль после интегрирования по $\phi$:

$\left\langle \mu _{z}\right\rangle ={1 \over Z}\int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{\pi }d\theta \sin \theta \exp(\mu B\beta \cos \theta )\left[\mu \cos \theta \right].$

Для упрощения вычислений запишем выражение в дифференциальной форме по переменной $Z$:

$\left\langle \mu _{z}\right\rangle ={1 \over ZB}\partial _{\beta }Z,$

что даёт:

$\left\langle \mu _{z}\right\rangle =\mu L(\mu B\beta ),$

где $L$ носит название функции Ланжевена (см. Ланжевен):

$L(x)=\coth x-{1 \over x}.$

Может показаться, что эта функция имеет сингулярность (разрыв) для маленьких значений $x$, но на самом деле разрыва нет, так как две сингулярные компоненты с противоположным знаком сохраняют непрерывность функции. На самом деле, её поведение при небольших значениях аргумента $L(x)\approx x/3$, что сохраняет действие закона Кюри, но со втрое ме́ньшим постоянным множителем-константой Кюри. В случае предела с больши́м значением аргумента применение этой функции также возможно.

Применения

Сохранение закона Кюри для парамагнетиков в слабом магнитном поле позволяет использовать их в качестве магнитных термометров.

См. также

• Закон Кюри — Вейса
• Парамагнетизм
• Пьер Кюри

Ссылки

• Закон Кюри — статья с сайта Элементы.ру
• Закон Кюри // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.