Открыть главное меню

В теории чисел, Лемма Золотарёва утверждает, что символ Лежандра

для целого числа a по модулю нечётного простого числа р, которое не делит a, можно вычислить как знак перестановки:

где ε обозначает знак перестановки и π является перестановкой ненулевых вычетов по модулю р , полученной умножением на a.

Содержание

Доказательство из леммы ГауссаПравить

Лемма Золотарева легко выводится из леммы Гаусса и наоборот. Например,

  ,

является символом Лежандра (a / p) при а = 3 и р = 11. Начнём с множества {1,2, …, р-1} в виде матрицы из двух строк, так, что сумма двух элементов любого столбца равна нулю по модулю р , например:

1 2 3 4 5
10 9 8 7 6

Применим перестановку   (mod р):

3 6 9 1 4
8 5 2 10 7

Столбцы ещё обладают тем свойством, что сумма двух элементов в одном столбце равна нулю по модулю р. Теперь применим подстановку V , которая поменяет местами любые две пары, в которых верхний член был изначально нижним членом:

3 5 2 1 4
8 6 9 10 7

Наконец, применим перестановку W, которая вернёт обратно исходную матрицу:

1 2 3 4 5
10 9 8 7 6

Таким образом, W−1 = VU. Лемма Золотарёва утверждает, что (a / p) = 1 тогда и только тогда, когда перестановка U чётная. Лемма Гаусса утверждает, что (a / p) = 1,тогда и только тогда, когда V чётная. Но W чётная, так что обе леммы эквивалентны для данных (но произвольных) a и р.

Общий случайПравить

В общем случае, пусть   — любая конечная группа чётного порядка  . Пусть   — элемент порядка  . С одной стороны, если  , то   — не квадрат в   тогда и только тогда, когда  , то есть   нечётно, а   — чётно. С другой стороны, пусть   — перестановка, порождённая элементом  . Ясно, что   может быть разложена в произведение   циклов одинаковой длины  . Чётность перестановки  . Значит   — нечётная перестановка тогда и только тогда, когда   распадается в нечётное число   циклов чётной длины  . Таким образом,   чётна тогда и только тогда, когда   — квадрат.

Утверждение для символа Лежандра получается, если в качестве   взять группу   ненулевых вычетов по модулю  . Порядок этой группы равен  , а потому чётный при  .

ИсторияПравить

Эта лемма использовалась Егором Ивановичем Золотарёвым в 1872 году в его новом доказательстве квадратичной взаимности.

ПримечанияПравить

  • Zolotareff G. (1872). “Nouvelle démonstration de la loi de de réciprocité de Legendre” (PDF). Nouvelles Annales de Mathématiques. 2e série. 11: 354—362.

СсылкиПравить