Липшицево отображение

Липшицево отображение (липшицевское отображение[1], также -липшицево отображение) — отображение, увеличивающее расстояние между образами точек не более чем в раз, где называется константой Липшица данной функции. Названо в честь Рудольфа Липшица.

ОпределениеПравить

Отображение   метрического пространства   в метрическое пространство   называется липшицевым, если найдётся такая константа   (константа Липшица этого отображения), что   при любых  . Это условие называют условием Липшица. Отображение с   (1-липшицево отображение) называют также коротким отображением.

Липшицево отображение   называется билипшицевым, если у него существует обратное  , которое также является липшицевым.

Отображение   называется колипшицевым, если существует константа   такая, что для любых   и   найдётся   такое, что  .

ИсторияПравить

Отображения со свойством:

 

впервые рассматривалось Липшицем в 1864 году для вещественных функций в качестве достаточного условия для сходимости ряда Фурье к своей функции. Впоследствии условием Липшица стало принято называть это условие только при  , а при  условием Гёльдера.

СвойстваПравить

  • Суперпозиция липшицевой и интегрируемой функции интегрируема.
  • Теорема Радемахера утверждает, что любая липшицева функция, определённая на открытом множестве в евклидовом пространстве, дифференцируема на нём почти всюду.
  • Теорема Киршбрауна о продолжении утверждает, что любое  -липшицевское отображение из подмножества евклидова пространства в другое евклидово пространство может быть продолжено до  -липшицевского отображения на всё пространство.

Вариации и обобщенияПравить

  • Понятие липшицевой функции естественным образом обобщается на функции с ограниченным модулем непрерывности, так как условие Липшица эквивалентно условию  .
  • Показатель Гёльдера

ПримечанияПравить

  1. Федерер Г. Геометрическая теория меры. — 1987. — 760 с.