Логистическое отображение

Логистическое отображение (также квадратичное отображение или отображение Фейгенбаума) — это полиномиальное отображение, которое описывает, как меняется численность популяции с течением времени. Его часто приводят в пример того, как из очень простых нелинейных уравнений может возникать сложное, хаотическое поведение. Логистическое отображение — дискретный аналог непрерывного логистического уравнения Ферхюльста; оно отражает тот факт, что прирост популяции происходит в дискретные моменты времени.

Математическая формулировка^[1] отображения

x_{n+1}=rx_{n}(1-x_{n})

где:

x_{n}

принимает значения от 0 до 1 и отражает отношение значения популяции в

n

-ом году к максимально возможному, а

x_{0}

обозначает начальную численность (в год номер 0);

r

— положительный параметр, характеризующий скорость размножения (роста) популяции.

Иногда эта формулировка называется отображением Ферхюльста (или Ферхюльста-Пирла), а логистическим отображением называется другая, но эквивалентная по свойствам формула^[2]:

x_{n+1}=1-\lambda x_{n}^{2}

Это нелинейное отображение описывает два эффекта:

с одной стороны, когда численность популяции мала, она размножается со скоростью, пропорциональной этой численности;
с другой стороны, поскольку популяция обитает в среде с ограниченной «ёмкостью», то при росте плотности популяции скорость размножения падает, возрастает конкуренция и смертность.

Одним из недостатков использования отображения в качестве демографической модели является тот факт, что при некоторых начальных значениях и величинах параметров отображение даёт отрицательные значения численности популяции. Этого недостатка лишена дискретная модель Рикера, которая также демонстрирует хаотическое поведение.

Зависимость поведения от параметра r править

При изменении значения параметра $r$ , в системе наблюдается следующее поведение ^[3].

Если $r$ больше 0 и меньше 1, популяция в конце концов вымрет, независимо от начальных условий.
Если $r$ больше 1 и меньше 2, численность популяции быстро выйдет на стационарное значение ${\frac {r-1}{r}}$ , независимо от начальных условий.
Если $r$ больше 2 и меньше 3, численность популяции точно так же придёт к тому же стационарному значению ${\frac {r-1}{r}}$ , но вначале будет несколько колебаться вокруг него. Скорость сходимости линейна везде, кроме значения $r$ =3, при котором она крайне мала, меньше линейной.
Если $r$ больше 3 и меньше $1+{\sqrt {6}}$ (приблизительно 3.45), численность популяции будет бесконечно колебаться между двумя значениями.
Если $r$ больше 3.45 и меньше 3.54 (приблизительно), то численность популяции будет бесконечно колебаться между четырьмя значениями.
При значении $r$ больше 3.54, численность популяции будет колебаться между 8 значениями, потом 16, 32 и так далее. Длина интервала изменения параметра, при котором наблюдаются колебания между одинаковым количеством значений, уменьшается по мере увеличения $r$ . Отношение между двумя длинами смежных интервалов стремится к константе Фейгенбаума, равной δ ≈ 4.669... Подобное поведение является типичным примером каскада бифуркаций удвоения периода.
При значении $r$ приблизительно равном 3.57, начинается хаотическое поведение, а каскад удвоений заканчивается. Колебания больше не наблюдаются. Небольшие изменения в начальных условиях приводят к несопоставимым отличиям дальнейшего поведения системы во времени, что является основной характеристикой хаотического поведения.
Большинство значений, превышающих 3.57, демонстрируют хаотическое поведение, однако существуют узкие, изолированные «окна» значений $r$ , при которых система ведёт себя регулярно, обычно их называют «окнами периодичности». К примеру, начиная со значения $1+{\sqrt {8}}$ (приблизительно 3.83), существует интервал параметров $r$ , при котором наблюдаются колебания между тремя значениями, а для больших значений $r$ — между 6, потом 12 и т. д. фактически, в системе можно найти периодические колебания с любым количеством значений. Последовательность смены количества значений удовлетворяет порядку Шарковского.
При $r$ > 4, значения отображения покидают интервал [0,1] и расходятся при любых начальных условиях.

Итог вышеперечисленного приведён на бифуркационной диаграмме. По оси абсцисс отложены значения параметра $r$ , а по оси ординат — принимаемые на больших временах значения $x$ .

Бифуркационная диаграмма логистического отображения

Структура бифуркационной диаграммы самоподобна: если увеличить область, к примеру, при значении $r$ = 3.82 в одном из трёх ответвлений, то можно увидеть, что тонкая структура этой области выглядит, как искажённая и размытая версия всей диаграммы. То же самое верно для любой окрестности нехаотических точек. Это пример глубокой связи между хаотическими системами и фракталами.

Программа для построения бифуркационной диаграммы править

Следующая программа на языке Python строит бифуркационную диаграмму.

import matplotlib.pyplot as plt

x3 = 0.01
s = []
c = []
l = 0.01
for j in range(200):
    x0=x3
    for i in range(200):
        x0 = 1 - l*x0*x0
        s.append(x0)
        c.append(l)
    x3=x0
    l += 0.01

plt.plot(c,s,'r.',ms=1)
plt.show()