Максимальные и минимальные элементы

Элемент частично упорядоченного множества называется максимальным элементом, если

Аналогично, элемент называется минимальным, если

Записывается как (соотв. свойство минимальности записывается как ). В случае линейно упорядоченного множества (например, в случае подмножества вещественной прямой с естественным порядком) понятие максимального (соотв. минимального) элемента совпадает с понятием наибольшего (соотв. наименьшего) элемента, но в общем случае эти понятия различаются: наибольший элемент всегда является максимальным, обратное не всегда верно, так как для максимального элемента могут существовать несравнимые с ним элементы.

Не существует максимального элемента подмножества , если оно не ограничено сверху. Даже если это множество ограничено сверху, максимального элемента также может не существовать (хотя и инфимум, и супремум существуют для любого ограниченного множества). Например, для интервала не существует ни минимального, ни максимального элемента.

Литература

править
  • Иванов Г. Е. Лекции по математическому анализу. Часть 1. — М.: МФТИ, 2000. — 359 с. — 800 экз. — ISBN 5-7417-0147-7.

См. также

править