Матрицант

Матрица́нт — фундаментальная матрица $X(t)$ решений системы обыкновенных дифференциальных уравнений

$x'(t)=A(t)x(t),\quad x(t)\in \mathbb {R} ^{n},\quad A(t)$ — однопараметрическое семейство матриц.

нормированная в точке $t_{0}$. (Также матрицантом иногда называют матрицу Коши системы дифференциальных уравнений.)

Матрицант является единственным непрерывным решением матричной задачи Коши

$X'=A(t)X$, $X(t_{0})=I$ ($I$ — единичная матрица)

если матричная функция $A(t)$ локально суммируема на некотором интервале.

Любое решение $x(t)$ системы записывается в виде $x(t)=X(t)x(t_{0})$.

Представление в виде ряда

Для матрицанта справедливо разложение в ряд

$X(t)=I+\int _{t_{0}}^{t}A(t_{1})dt_{1}+\int _{t_{0}}^{t}A(t_{1})\int _{t_{0}}^{t_{1}}A(t_{2})dt_{2}dt_{1}+\ldots =$

$=I+\sum \limits _{n=1}^{\infty }\;\int \limits _{t_{0}<t_{1}<\ldots <t_{n}<t}\prod \limits _{k=1}^{n}A(t_{k})\prod \limits _{k=1}^{n}dt_{k}$

Представление в виде экспоненты

Если матрица $A(t)$ удовлетворяет условию Лаппо-Данилевского:

$[\int _{t_{0}}^{t}A(s)ds,A(t)]=0,$

где $[\cdot ,\cdot ]$ — коммутатор, то матрицант примет вид:

$X(t)=e^{\int _{t_{0}}^{t}A(s)ds}$

В общем случае решение может быть записано через T-экспоненту:

$X(t)=\mathrm {Texp} \left(\int _{t_{0}}^{t}A(s)ds\right)$

Определитель матрицанта

Определитель матрицанта является определителем Вронского фундаментальной нормированной системы решений соответствующего дифференциального уравнения. Для него справедлива формула Лиувилля-Остроградского

$W_{n}(t)=\det X(t)=e^{\int _{t_{0}}^{t}\mathop {\rm {tr}} \;A(s)ds}$

Тогда с учётом $x(t)=X(t)x(t_{0})$ формула Лиувилля-Остроградского для определителя Вронского произвольной системы решений примет вид:

$W(t)=W(t_{0})e^{\int _{t_{0}}^{t}\mathop {\rm {tr}} \;A(s)ds}.$

Литература

Математическая энциклопедия Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] М., «Советская Энциклопедия», 1977—1985 гг.

А.Н. Тихонов, А.Б. Васильева, А.Г. Свешников. Курс высшей математики и математической физики. Дифференциальные уравнения. — Физматлит, 2005. — ISBN 5-9221-0277-X.