Открыть главное меню

Фундамента́льная ма́трица системы линейных однородных дифференциальных уравненийматрица, столбцы которой образуют фундаментальную систему решений этой системы [1].

Фундаментальная матрица, нормированная в точке , выделяется из множества всех фундаментальных матриц данной системы условием , где  — единичная матрица, и называется матрицант.

Определитель фундаментальной матрицы называется её вронскианом и обозначается . Важное свойство вронскиана фундаментальной матрицы состоит в том, что он не обращается в нуль ни в одной точке.

Критерий фундаментальностиПравить

Наряду с линейной однородной системой дифференциальных уравнений

 

рассмотрим соответствующее матричное уравнение

 ,

в котором   — неизвестная квадратная матрица.

Теорема. Заданная матрица-функция   является фундаментальной матрицей линейной системы дифференциальных уравнений (1), если и только если, она является решением матричного уравнения (2) и имеет в некоторой (произвольной) точке ненулевой определитель.

Доказательство. Заметим, что матрица-функция   будет решением матричного уравнения (2) в том и только том случае, когда любой её столбец   является решением линейной однородной системы (1). Действительно, равенство столбцов с номером   в левой и правой части матричного уравнения (2) имеет вид  , что совпадает с линейной однородной системой (1). Теперь сформулированный критерий вытекает из определений и упомянутого выше свойства вронскиана, поскольку линейная независимость столбцов матрицы эквивалентна отличию определителя этой матрицы от нуля.

ПримечанияПравить

  1. Математическая энциклопедия Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] М., «Советская Энциклопедия», 1977—1985 гг.

ЛитератураПравить

  • Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Наука, 1966.
  • Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1970.
  • Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Наука, 1974.