Открыть главное меню

Ма́трицы Ди́рака (также известные как га́мма-ма́трицы) — набор матриц, удовлетворяющих особым антикоммутационным соотношениям. Часто используются в релятивистской квантовой механике.

ОпределениеПравить

Матрицами Дирака называется любой набор матриц, удовлетворяющих уравнению

 

где  метрика Минковского сигнатуры   I — единичная матрица, фигурные скобки обозначают антикоммутатор.

Один из возможных способов выбрать матрицы Дирака в четырёхмерном пространстве такой:

 

(Дираковское представление; используются также представления Вейля и Майораны).

Пятая гамма-матрица,  Править

Полезно определить произведение четырёх гамма-матриц следующим образом:

  (в представлении Дирака).


  можно записать в альтернативном виде:

 

где  тензор Леви-Чивиты.

Эта матрица полезна при обсуждении хиральности в квантовой механике. Так, дираковское спинорное поле можно спроецировать на его левую или правую компоненту:

 .

Некоторые свойства  :

 
  • Собственные значения равны ±1, поскольку
 
  • Антикоммутирует с четырьмя другими гамма-матрицами:
 

Блочная структураПравить

Матрицы Дирака могут быть компактно записаны как блочные матрицы с использованием матриц Паули σ1, σ2, σ3, дополненных единичной матрицей I. В представлении Дирака:

 

В представлении Вейля   остаются теми же, но   отличается, поэтому   тоже изменена:

 

Представление Вейля имеет то преимущество, что в нём хиральные проекции принимают простую форму:

 

Существует также представление Майораны, в котором все гамма-матрицы мнимые, а спиноры вещественные:

 
 

В современной науке основным является определяющее свойство гамма-матриц, а не их числовое представление.

ТождестваПравить

Тождество
1  
2  
3  
4  
5  
Тождество
0  
1 Любое произведение нечётного числа   имеет нулевой след.
2  
3  
4  
5  

Также для матриц Дирака выполняются тождества Фирца.

Определение гамма-матриц обобщается на пространства других размерностей, где их количество может отличаться.

См. такжеПравить

ЛитератураПравить