Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 29 декабря 2020 года; проверки требуют 7 правок.
Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 29 декабря 2020 года; проверки требуют 7 правок.
У этого термина существуют и другие значения, см. Метод Лагранжа.
полагая, что для соответствующего ему однородного уравнения
известно решение, которое запишем как
Метод состоит в замене произвольных постоянных в общем решении на вспомогательные функции .
Производная для запишется
Но мы потребуем дополнительно (ниже показано, что проблем это не вызовет), чтобы
Таким образом,
Вводя схожие требования для при последовательном дифференцировании до (n-1) порядка, получим
А для старшей производной, соответственно
После подстановки в исходное уравнение и сокращения в нём однородного решения (1), останется
В результате, приходим к
Определителем системы (2) служит вронскиан функций , что обеспечивает её однозначную разрешимость относительно .
Если — первообразные для , взятые при фиксированных значениях постоянных интегрирования, то функция
является решением исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения. Интегрирование неоднородного уравнения при наличии общего решения соответствующего однородного уравнения сводится, таким образом, к квадратурам.
где — базис решений соответствующего однородного уравнения, записанный в виде матрицы, а векторная функция , заменившая вектор произвольных постоянных, определена соотношением . Искомое частное решение (с нулевыми начальными значениями) при имеет вид
Для системы с постоянными коэффициентами последнее выражение упрощается: