Метод площадей
Метод площадей — метод решения геометрических тождеств путём подсчёта площадей фигур разными способами.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/09/Perigal_TdP.gif/220px-Perigal_TdP.gif)
Методом площадей также доказываются теорема Пифагора, теорема о биссектрисе, теорема Чевы и многие другие.
Пример: Доказательство Евклида теоремы Пифагора
правитьКлассическое доказательство Евклида направлено на установление равенства площадей между прямоугольниками, образованными из рассечения квадрата над гипотенузой высотой из прямого угла, с квадратами над катетами.
Конструкция, используемая для доказательства, следующая: для прямоугольного треугольника с прямым углом , квадратов над катетами и и квадрата над гипотенузой строится высота и продолжающий её луч , разбивающий квадрат над гипотенузой на два прямоугольника — и . Доказательство нацелено на установление равенства между площадями прямоугольника и квадрата над катетом ; равенство площадей второго прямоугольника, составляющего квадрат над гипотенузой, и прямоугольника над другим катетом устанавливается аналогичным образом.
Равенство площадей прямоугольника и устанавливается через конгруэнтность треугольников и , площадь каждого из которых равна половине площади квадратов и соответственно в связи со следующим свойством: площадь треугольника равна половине площади прямоугольника, если у фигур есть общая сторона, а высота треугольника к общей стороне является другой стороной прямоугольника. Конгруэнтность треугольников следует из равенства двух сторон (стороны квадратов) и углу между ними (составленного из прямой угла и угла при ).
Таким образом, доказательством устанавливается, что площадь квадрата, построенного на гипотенузе, составленного из прямоугольников и , равна сумме площадей квадратов над катетами.
Литература
править- 9.3 в И.Ф. Шарыгин. Геометрия 7—9,. — М.: Дрофа, 1997. — 352 с.