Многочлены Шура

Многочлены Шура — названные в честь И. Шура симметрические многочлены от $n$ переменных специального вида, параметризованные разбиениями неотрицательных целых чисел в сумму $n$ неупорядоченных слагаемых, или, что то же самое, диаграммами Юнга с не более, чем $n$ столбцами. Коэффициенты их задания как многочленов от элементарных симметрических многочленов Ньютона связаны со значениями характеров соответствующих представлений симметрической группы $S_{n}$.

Формальное определение

Многочлен Шура, соответствующий разбиению $\lambda ,$ равен

$s_{\lambda }(x_{1},\dots ,x_{n})={\frac {\det(x_{i}^{\lambda _{j}+n-j})_{i,j=1}^{n}}{\det(x_{i}^{n-j})_{i,j=1}^{n}}}.$

Также имеются формулы, выражающие многочлены Шура через элементарные симметрические многочлены $e_{r}$ и полные симметрические многочлены $h_{r}$:

$s_{\lambda }(x_{1},\dots ,x_{n})=det(h_{\lambda _{i}-i+j})_{1\leq i,j\leq n}$, где $n\geq l(\lambda )$,

$s_{\lambda }(x_{1},\dots ,x_{n})=det(e_{\lambda '_{i}-i+j})_{1\leq i,j\leq m}$, где $\lambda '$ - сопряжённое к $\lambda$ разбиение, а также $m\geq l(\lambda ')$.

В частности, $s_{(n)}=h_{n}$ и $s_{(1^{n})}=e_{n}$.

Связь с представлениями симметрической группы

Многочлен Шура $s_{\lambda }(x_{1},\dots ,x_{n})$, соответствующий диаграмме Юнга $\lambda =(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n})$, выражается через элементарные симметрические многочлены Ньютона $p_{k}(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{j}x_{j}^{k}$ с коэффициентами, выражающимися через значения характера $\chi _{\lambda }$, соответствующего $\lambda$ представления симметрической группы $S_{n}$. А именно,

$s_{\lambda }=\sum _{\rho =(1^{r_{1}},2^{r_{2}},3^{r_{3}},\dots )}\chi ^{\lambda }(\rho )\cdot \prod _{k}{\frac {p_{k}^{r_{k}}}{r_{k}!}},$

где запись $\rho =(1^{r_{1}},2^{r_{2}},3^{r_{3}},\dots )$ означает, что в классе сопряжённости $\rho$ в разложении подстановки на непересекающиеся циклы имеется $r_{j}$ циклов длины $j$.