Надбарьерное отражение

Надбарьерное отражение — этот термин употребляется, чтобы описать невозможное в классической физике явление отражения от потенциального барьера, высота которого меньше полной энергии частицы.

Примеры

Разная эффективная масса

Потенциальная энергия, как функция координаты, различная масса для частицы слева и справа от нуля

Переход в область с другой массой может быть аналогичной прохождению над барьером. Волновая функция записывается в двух областях как:

$\psi _{1}(x)=e^{ik_{1}x}+re^{-ik_{1}x}\,(x<0)$

$\psi _{2}(x)=te^{ik_{2}x}\,(x>0)$

где:

$k_{1}={\sqrt {\frac {2m_{1}E}{\hbar ^{2}}}}$ и $k_{2}={\sqrt {\frac {2m_{2}E}{\hbar ^{2}}}}$ модули волновых векторов.

Сшивка волновой функции на границе:

$1+r=t$

и токов вероятности

${\frac {\hbar k_{1}}{m_{1}}}-r{\frac {\hbar k_{1}}{m_{1}}}=t{\frac {\hbar k_{2}}{m_{2}}}$

позволяет найти коэффициенты $r$ и $t$ по формулам:

$r={\frac {{\sqrt {m_{1}}}-{\sqrt {m_{2}}}}{{\sqrt {m_{1}}}+{\sqrt {m_{2}}}}}$

$t={\frac {2{\sqrt {m_{1}}}}{{\sqrt {m_{1}}}+{\sqrt {m_{2}}}}}.$

Коэффициенты отражения и прохождения в этом случае записываются, как:

$R=|r|^{2}=\left({\frac {{\sqrt {m_{1}}}-{\sqrt {m_{2}}}}{{\sqrt {m_{1}}}+{\sqrt {m_{2}}}}}\right)^{2}$

$T={\frac {k_{2}m_{1}}{m_{2}k_{1}}}|t|^{2}={\frac {4{\sqrt {m_{1}m_{2}}}}{\left({\sqrt {m_{1}}}+{\sqrt {m_{2}}}\right)^{2}}}$

При равенстве эффективных масс нет никакого отражения.

Разная потенциальная энергия

Потенциальная энергия как функция координаты

Задачу о переходе в область с другой потенциальной энергией можно решить аналогично

$\psi _{1}(x)=e^{ik_{1}x}+re^{-ik_{1}x}\,(x<0)$

$\psi _{2}(x)=te^{ik_{2}x}\,(x>0)$

$k_{1}={\sqrt {\frac {2mE}{\hbar ^{2}}}}$

$k_{2}={\sqrt {\frac {2m(E-V)}{\hbar ^{2}}}}$

$1+r=t$

$i\hbar k_{1}-ir\hbar k_{1}=it\hbar k_{2}$

$r={\frac {k_{1}-k_{2}}{k_{1}+k_{2}}}$

$t={\frac {2k_{1}}{k_{1}+k_{2}}}$

В итоге получим коэффициенты отражения и прохождения

$R=|r|^{2}=\left({\frac {1-{\sqrt {1-V/E}}}{1+{\sqrt {1-V/E}}}}\right)^{2}$

$T={\frac {k_{2}}{k_{1}}}|t|^{2}={\frac {4{\sqrt {1-V/E}}}{\left(1+{\sqrt {1-V/E}}\right)^{2}}}$