Ток вероятности

В квантовой механике ток вероятности (или поток вероятности) описывает изменение функции плотности вероятности.

ОпределениеПравить

Ток вероятности   определяется как

 

и удовлетворяет квантово-механическому уравнению непрерывности

 

с плотностью вероятности  , заданной

 .

Уравнение непрерывности эквивалентно следующему интегральному уравнению:

 

где   — объём и   − граница объёма  . Это — закон сохранения для плотности вероятности в квантовой механике.

В частности, если  волновая функция отдельной частицы, интеграл в первом слагаемом предыдущего уравнения (без производной по времени) — вероятность получения значения в пределах  , когда положение частицы измерено. Второе слагаемое — скорость, с которой вероятность «вытекает» из объема  .

В целом уравнение гласит, что производная по времени от вероятности нахождения частицы в   равна скорости, по которой вероятность «вытекает» из  .

ПримерыПравить

Плоская волнаПравить

Ток вероятности, который можно сопоставить плоской волне

 

запишется в виде

 

Это произведение квадрата амплитуды волны на скорость частицы:

 .

Отметьте, что ток вероятности является отличным от нуля несмотря на то, что плоские волны это стационарные состояния и следовательно

 

везде. Это демонстрирует, что частица может двигаться, даже если её пространственная плотность вероятности не имеет никакой явной зависимости от времени.

Частица в ящикеПравить

Для одномерного ящика с бесконечными стенками длиной   ( ), волновые функции запишутся в виде

 

и ноль справа и слева от ямы. Тогда ток запишется в виде

 

поскольку  

Вывод уравнения непрерывностиПравить

В этом разделе уравнение непрерывности выводится из определения тока вероятности и основных принципов квантовой механики.

Предположим что   - волновая функция для частицы, зависящая от трёх переменных  ,  , и  ). Тогда

 

определяет вероятность измерить позицию частицы в объёме V. Производная по времени запишется в виде

 

где последнее равенство предполагает, что частную производную по времени можно внести под интеграл (форма объёма   не зависит от времени). Для дальнейшего упрощения рассмотрим нестационарное уравнение Шрёдингера

 

и используем его для того, чтобы выделить производную по времени от  :

 

Результат подстановки в предыдущее уравнение для   даёт

 .

Теперь после перехода к дивергенции

 

и поскольку первое и третье слагаемое сокращаются:

 

Если теперь вспомним выражение для   и заметим, что выражение на которое действует оператор набла есть   тогда запишем выражение

 

которое является интегральной формой уравнения непрерывности. Дифференциальная форма следует из того факта, что предыдущее уравнение выполнено для всех объёмов  , и интеграл можно опустить: