Ток вероятности

В квантовой механике ток вероятности (или поток вероятности) описывает изменение функции плотности вероятности.

Определение

Ток вероятности ${\vec {j}}$ определяется как

${\vec {j}}={\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi ^{*}{\vec {\nabla }}\Psi -\Psi {\vec {\nabla }}\Psi ^{*}\right)={\frac {\hbar }{m}}{\mbox{Im}}(\Psi ^{*}{\vec {\nabla }}\Psi )$,

где $\Psi$ — волновая функция частицы массой $m$, звёздочка обозначает комплексное сопряжение, ${\vec {\nabla }}$ — оператор набла, $\hbar$ — редуцированная постоянная Планка, $i$ — мнимая единица, $\mathrm {Im}$(...) — «мнимая часть» выражения в скобках.

Размерность

Размерность квантовомеханического тока вероятности в системе СИ, как следует из определения данной величины, — м^-2c^-1, что соответствует физическому смыслу. При этом подразумевается, что волновая функция имеет размерность м^-3/2.

Свойства

Вектор ${\vec {j}}$ удовлетворяет квантово-механическому уравнению непрерывности

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {j}}=0$

с плотностью вероятности $\rho$, заданной как

$\rho =|\Psi |^{2}$.

Уравнение непрерывности эквивалентно интегральному уравнению

${\frac {\partial }{\partial t}}\int \limits _{V}|\Psi |^{2}dV+\int \limits _{S}{\vec {j}}\cdot d{\vec {S}}=0$,

где $V$ — объём, $t$ — время и $S$ — граница объёма $V$. Это закон сохранения для плотности вероятности в квантовой механике.

Интеграл в первом слагаемом последнего уравнения (без производной по времени) — вероятность нахождения частицы в пределах объёма $V$ в момент измерения её положения. Второе слагаемое — скорость, с которой вероятность «вытекает» из объема $V$. В целом уравнение гласит, что производная по времени от вероятности нахождения частицы в объёме $V$ равна скорости, с которой вероятность «вытекает» из этого объёма.

Примеры

Плоская волна

Ток вероятности, который можно сопоставить плоской волне

$\Psi =Ae^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}e^{-i\omega t}$

(где ${\vec {r}}$ — радиус-вектор точки наблюдения, ${\vec {k}}$ — волновой вектор волны де Бройля, $\omega$ — её частота, $A$ — амплитуда), запишется в виде

${\vec {j}}={\frac {\hbar }{2mi}}|A|^{2}\left(e^{-i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}{\vec {\nabla }}e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}-e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}{\vec {\nabla }}e^{-i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}\right)=|A|^{2}{\frac {\hbar {\vec {k}}}{m}}.$

Это произведение квадрата амплитуды волны на скорость частицы (${\vec {p}}=m{\vec {v}}=\hbar {\vec {k}}$ — импульс):

${\vec {v}}={\frac {\vec {p}}{m}}={\frac {\hbar {\vec {k}}}{m}}$.

Несмотря на то, что плоские волны отвечают стационарным состояниям и, следовательно,

${\frac {d|\Psi |^{2}}{dt}}=0$

во всём пространстве, ток вероятности отличен от нуля. Это демонстрирует, что частица может двигаться даже если её пространственная плотность вероятности не имеет никакой явной зависимости от времени.

Частица в ящике

Под [одномерным] «ящиком» в квантовой механике понимается область ($0<x<L$, $L$ — ширина области вдоль координаты $x$) постоянной потенциальной энергии, ограниченная бесконечными стенками. По двум другим координатам ($y$, $z$) движение считается свободным, то есть ширины ($L_{y}$, $L_{z}$) области по этим координатам очень велики. Для такой области волновые функции частицы запишутся в виде

$\Psi _{n}={\sqrt {\frac {2}{L}}}{\sqrt {\frac {1}{L_{y}L_{z}}}}\sin \left({\frac {n\pi }{L}}x\right)$

и ноль справа и слева от ямы ($x<0$ или $x>L$). Тогда ток запишется в виде

$j_{n}={\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi _{n}^{*}{\frac {\partial \Psi _{n}}{\partial x}}-\Psi _{n}{\frac {\partial \Psi _{n}^{*}}{\partial x}}\right)=0$,

поскольку $\Psi _{n}=\Psi _{n}^{*}.$

Вывод уравнения непрерывности

В этом разделе уравнение непрерывности выводится из определения тока вероятности и основных принципов квантовой механики.

Предположим что $\Psi$ — волновая функция для частицы, зависящая от трёх переменных $x$, $y$, и $z$). Тогда

$P=\int \limits _{V}|\Psi |^{2}dV$

определяет вероятность измерить позицию частицы в объёме $V$. Производная по времени запишется в виде

${\frac {dP}{dt}}={\frac {\partial }{\partial t}}\int \limits _{V}|\Psi |^{2}dV=\int \limits _{V}\left({\frac {\partial \Psi }{\partial t}}\Psi ^{*}+\Psi {\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial t}}\right)dV$,

где последнее равенство предполагает, что частную производную по времени можно внести под интеграл (форма объёма $V$ не зависит от времени).

Для дальнейшего упрощения рассмотрим нестационарное уравнение Шрёдингера

$i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi +V\Psi$

и используем его для того, чтобы выделить производную по времени от $\Psi$:

${\frac {\partial \Psi }{\partial t}}={\frac {i\hbar }{2m}}\nabla ^{2}\Psi -{\frac {i}{\hbar }}V\Psi$.

Подстановка в предыдущее уравнение для ${\frac {dP}{dt}}$ даёт

${\frac {dP}{dt}}=-\int \limits _{V}{\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi ^{*}\nabla ^{2}\Psi -\Psi \nabla ^{2}\Psi ^{*}\right)dV$.

Теперь после перехода к дивергенции имеем

$\nabla \cdot \left(\Psi ^{*}{\vec {\nabla }}\Psi -\Psi {\vec {\nabla }}\Psi ^{*}\right)={\vec {\nabla }}\Psi ^{*}\cdot {\vec {\nabla }}\Psi +\Psi ^{*}\nabla ^{2}\Psi -{\vec {\nabla }}\Psi \cdot {\vec {\nabla }}\Psi ^{*}-\Psi {\vec {\nabla }}^{2}\Psi ^{*}$

и, поскольку первое и третье слагаемое сокращаются, приходим к

${\frac {dP}{dt}}=-\int \limits _{V}{\vec {\nabla }}\cdot {\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi ^{*}{\vec {\nabla }}\Psi -\Psi {\vec {\nabla }}\Psi ^{*}\right)dV$.

Теперь, используя выражение для $P$ и замечая, что выражение, на которое действует оператор набла, есть ${\vec {j}}$, запишем:

$\int \limits _{V}\left({\frac {\partial |\Psi |^{2}}{\partial t}}+{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {j}}\right)dV=0$,

которое является интегральной формой уравнения непрерывности. Дифференциальная форма следует из того факта, что предыдущее уравнение выполнено для всех «объёмов» $V$, и интеграл можно опустить:

${\frac {\partial |\Psi |^{2}}{\partial t}}+{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {j}}=0$.