Неравенство Фробениуса

В линейной алгебре неравенством Фробе́ниуса называют следующее неравенство для рангов матриц:

$\mathrm {rank} \,AB+\mathrm {rank} \,BC\leqslant \mathrm {rank} \,ABC+\mathrm {rank} \,B.$

В этом неравенстве размерности матриц $A$, $B$ и $C$ должны позволять существование матрицы $ABC$ (т. е. эти матрицы имеют размерности $i\times j$, $j\times k$ и $k\times l$ соответственно).

Неравенство названо в честь открывшего его математика Ф. Г. Фробениуса.

Первое доказательство

Если $U\subset V$ и $X:V\rightarrow W$, то $\dim \mathrm {Ker} \,X_{U}\leqslant \dim \mathrm {Ker} \,X=\dim V-\dim \mathrm {Im} \,X$.

Запишем это неравенство для $U=\mathrm {Im} \,BC,V=\mathrm {Im} \,B,X=A$:

$\dim \mathrm {Ker} \,A_{\mathrm {Im} \,B}=\dim \mathrm {Im} \,B-\dim \mathrm {Im} \,AB$

Ясно также, что $\dim \mathrm {Ker} \,A_{\mathrm {Im} \,BC}=\dim \mathrm {Im} \,BC-\dim \mathrm {Im} \,ABC$.

Второе доказательство

Рассмотрим блочную матрицу

$M={\begin{pmatrix}B&0\\0&ABC\end{pmatrix}}$,

применим к матрице $M$ цепочку элементарных преобразований, они, как известно, не изменяют ранг матрицы.

$M={\begin{pmatrix}B&0\\0&ABC\end{pmatrix}}\sim {\begin{pmatrix}B&0\\AB&ABC\end{pmatrix}}\sim {\begin{pmatrix}B&-BC\\AB&0\end{pmatrix}}\sim {\begin{pmatrix}BC&B\\0&AB\end{pmatrix}}$

Тогда $\mathrm {rank} \,B+\mathrm {rank} \,ABC=\mathrm {rank} \,M=\mathrm {rank} {\begin{pmatrix}BC&B\\0&AB\end{pmatrix}}\geqslant \mathrm {rank} {\begin{pmatrix}BC&0\\0&AB\end{pmatrix}}=\mathrm {rank} \,AB+\mathrm {rank} \,BC$

Литература

• Carl D. Meyer. Matrix Analysis and Applied Linear Algebra
• Прасолов В. В. Задачи и теоремы линейной алгебры. — М.: Наука, 1996. — 304 с. — ISBN 5-02-014727-3.