Нормированная ассоциативная алгебра

Нормированная ассоциативная алгебра — ассоциативная алгебра над полем действительных или комплексных чисел, являющаяся нормированным пространством, где норма удовлетворяет условию субмультипликативности:

$\forall x,y:\|x\,y\|\ \leq \|x\|\,\|y\|$.

Более общо, нормированную ассоциативную алгебру можно определить над любым нормированным полем. В старых книгах нормированные ассоциативные алгебры могут называться нормированными кольцами.

Иногда приводится условие, ослабляющее условие субмультипликативности на константу:

$\exists C>0\ \forall x,y:\|x\,y\|\ \leq C\|x\|\,\|y\|$.

Ничего нового оно, по существу, не разрешает, так как если C = 0, то алгебра тривиальна, а если C > 0, то после умножения нормы на C новая (эквивалентная) норма будет субмультипликативна без константы.

Частные случаи

Любая банахова алгебра по определению — метрически полная нормированная ассоциативная алгебра.

Алгебра ограниченных линейных операторов в нормированном пространстве (не обязательно банаховом) — также является нормированной ассоциативной алгеброй.

Свойства

Нормированная ассоциативная алгебра является топологическим кольцом.

Метрическое пополнение нормированной ассоциативной алгебры является банаховой алгеброй.

Литература

• Наймарк М. А. Нормированные кольца. — М.: Наука, 1968. — 664 с.