Нотация Фойгта

Нотация Фойгта — матричная форма записи симметричного тензора 4-го ранга. Впервые была предложена немецким физиком В.Фойгтом для тензора упругости в формулировке закона Гука для анизотропных материалов.

ОбозначенияПравить

Если тензор 4-ранга   обладает симметрией по первой и второй паре индексов

 ,
 ,

то его элементы могут быть записаны в виде матрицы 6x6, используя следующую подстановку индексов:

 
 
 
 
 
 .

Например, компонента   будет соответствовать элементу матрицы  .

Используя те же подстановки индексов, можно записывать симметричные тензоры 2 ранга в виде 6 векторов. При таком представлении результат умножения тензоров, вообще говоря, не соответствуют результату перемножения матриц. Для того, чтобы операция тензорного умножения могла быть записана в виде умножения матриц, может потребоваться введение дополнительных множителей.

Матричная запись закона ГукаПравить

Основная статья: Закон Гука

Закон Гука в тензорном виде имеет вид (здесь и далее используется соглашение Эйнштейна о суммировании по повторяющимся индексам):

 ,

где   и   — тензоры напряжения и деформации. Так как эти тензоры являются симметричными, то тензор модулей упругости   обладает необходимой степенью симметрии для того, чтобы его возможно было записать в матричном виде. Более того, из соотношения

 ,

где F — свободная энергия в случае изотермической деформации, или внутренняя энергия при адиабатической деформации, следует  . Отсюда следует, что существует только 21 линейно независимая компонента тензора упругих постоянных.[1] Поэтому матрица  , составленная из компонент  , будет симметричной. Закон Гука может быть записан в следующем виде:

 ,

где индексы   пробегают значения от 1 до 6, или:

 

В данной записи коэффициент 2 при компонентах тензора деформации  ,  ,   необходим для того, чтобы матричные уравнения в точности соответствовали тензорным. Например, в законе Гука в уравнение для компоненты   входит слагаемое  , которое в матричной записи соответствует слагаемому  .

Закон Гука может быть записан в эквивалентной тензорной форме, через тензор модулей податливости  :

 

Тензор   характеризуется той же степенью симметрии, что и  . Поэтому его компоненты тоже можно записать в виде матрицы 6x6 элементов. Однако данная матрица не будет обратной к матрице  .

Обратное матричное уравнение  , где  , выглядит следующим образом:

 

Преобразование поворотаПравить

При переходе от декартовой системы координат   к декартовой системе координат   путём поворота, компоненты тензора упругих постоянных преобразуются по следующей формуле в соответствии с преобразованием тензора четвёртого ранга[2]:

 

ПримерыПравить

Тензор упругости изотропного материалаПравить

Упругие свойства определяются 2 постоянными (в данном примере — постоянными Ламэ   и  )

 

Тензор упругости материала с гексагональной симметриейПравить

Тело, обладающее гексагональной симметрией, характеризуется наличием оси симметрии (в данном случае  ), при повороте вокруг которой свойства не меняются. Описывается 5 независимыми упругими постоянными.

 

Единичная матрицаПравить

Единичной матрице соответствует единичный «симметризующий» тензор  :

 

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Фильтры на поверхностных акустических волнах (расчёт, технология и применение) = Surface wave filters: design, constructin, and use / Под ред. В. Б. Акпамбетова. — М.: Радио и связь, 1981. — С. 11. — 472 с. — 5000 экз.
  2. Witold Novacky. Teoria Sprezystosci. Panstowe Wydawnitctwo Naukowe (1970).

ЛитератураПравить

  1. М.А. Акивис, В.В. Гольдберг. Тензорное исчисление. — М.: Наука, 1969. — 352 с.
  2. В. Новацкий. Теория упругости / пер. Б. Е. Победря. — М.: "Мир", 1975. — 871 с.
  3. Т.Д. Шермергор. Теория упругости микронеоднородных сред. — М.: "Наука", 1977. — 399 с.