Обсуждение:Основная теорема арифметики

Untitled

Другое доказательство через алгоритм Евклида, существование... Приходим к тому что n делится на p. Ну и что? Как доказать собственно существование разложения?

- Там была частично написана идея для доказательства, а не оно само. Абзац переписан. - ElenaRia

История

@Tosha:, а почему эти утверждения не верные? Alexei Kopylov 08:39, 11 января 2016 (UTC)

В «Началах» Евклида теорема не встречается, однако уже в книге VII появляются предложения, которые ей  эквивалентны. Нет точной формулировки и в книге «Введение в теорию чисел» Лежандра, написанной в 1798 году.

• Я скорее уточнил это утверждение; Более существенно: я убрал утверждение о том, что у Евкида не было доказательства --- как раз доказательство было, но современная формулировка появилась позже.--Тоша 13:52, 11 января 2016 (UTC)

• Понятно. Я тогда вернул часть того, что было (главное - источник). Посмотрите, вроде нигде не говориться, что у Евклида не было доказательства, а только, что не было современной формулировки. Кроме того, я убрал про то, что доказательство не встречается в учебниках. В преамбуле - этому явно не место. Alexei Kopylov 06:11, 12 января 2016 (UTC)

Формулировка для единицы

Распространение Основной теоремы арифметики на единицу мне попадалось только в книге Калужнина, который мотивирует это тем, что «математика не любит исключений». Однако предложенное им разложение 1 = 1 как раз и является исключением; более того, при таком подходе необходимы дополнительные разъяснения, почему нарушающее однозначность равенство $6=2\cdot 3\cdot 1$ неприемлемо (Калужнин этот аспект тихо замял). В книжке Жикова «Основная теорема арифметики» теорема формулируется только для $n>1,$ такие же формулировки в Математической энциклопедии (том 4, статья «Простое число», стр. 706), в «Математическом энциклопедическом словаре» (статья «Простое число», стр. 503) и в нашем самом авторитетном «Справочнике юного математика». В справочнике Выгодского по элементарной математике формулировка такая: «всякое составное число можно единственным способом представить в виде произведения простых множителей», то есть и здесь единица автоматически выпадает. Можно умножить эти примеры, но, думаю, ясно, что вопрос как минимум не однозначен и вставлять явно маргинальную формулировку нет оснований. LGB (обс) 11:31, 28 сентября 2016 (UTC)

Ну, $6=2\cdot 3\cdot 1$ не нарушает однозначность, так как 1 - не простое число. Просто 1 является произведением пустого множества простых чисел. Формулировка ОТА для всех положительных чисел менее распространена, но не маргинальна, т.к. никто не утверждает, что она ошибочна. Далее, мы даём формулировку ОТА именно для случая n>1, как в большинстве источников, и лишь в качестве замечания говорим, что ее можно сформулировать для всех положительных чисел (так, кстати, поступили и в англовики). Для этого не обязательно, чтобы в большинстве АИ была такая формулировка, достаточно, чтобы существовали достаточно авторитетные источники с такой формулировкой. Ссылки на Калужина, на мой взгляд, вполне достаточно, чтобы показать, что эта фраза не нарушает ВП:ВЕС, но на всякий случай добавил ссылку на третичный источник. Наконец, в дальнейшем мы неявно пользуемся этой теоремой и для n=1: например, когда рассматриваем НОД (который может быть равен 1), и главное в индуктивном предположении при доказательстве: $n-p_{0}\cdot q_{0}$ может оказаться равным 1. Если мы удалим эту фразу, то формально говоря, придётся оговаривать эти случаи, что приведёт к бессмысленному усложнению текста. — Алексей Копылов ✍ 🐾 22:09, 28 сентября 2016 (UTC)

Теорема Евклида

Почему сделано перенаправление "Теорема Евклида" на эту статью? Согласно английской версии "Теорема Евклида" - это утверждение о бесконечности простых чисел...

Согласно Математической энциклопедии

ЕВКЛИДА ТЕОРЕМА

Теорем о простых числах: множество простых чисел является бесконечным ("Начала" Евклида, книга IX, теорема 20). Более точную количественную информацию о множестве простых чисел в натуральном ряде содержит Чебышева теорема о простых числах и асимптотич. закон распределения простых чисел.

С. М. Воронин.

Jumpow (обс.) 16:56, 9 мая 2018 (UTC)

• Это явная ошибка. Тем более Евклид явно не формулировал основную теорему арифметики. Исправил. — Алексей Копылов 19:01, 9 мая 2018 (UTC)