Обсуждение:Периодическая функция

Untitled

Чёрт, рисунок-то неправильно отображается в таком масштабе. infovarius 14:25, 15 ноября 2008 (UTC)

С каких это пор x^2 является периодичной?

84.23.56.87 20:58, 28 декабря 2008 (UTC)

Сумма периодических функций

Поясните, почему неверно утверждение: "Сумма 2 функций с соизмеримыми (даже основными) периодами T1 и T2 является функция с периодом НОК (T1,T2)"? "Соизмеримые" - это у которых рациональное отношение, а общее кратное для нецелых чисел - это которое нацело делится на каждое? Не понимаю, почему это не период (не обязательно наименьший), что я упускаю? Btw, термины "соизмеримые величины" и НОК для нецелых чисел в Википедии не объясняются, поэтому, наверное, стоило бы их пояснить либо тут, либо там. Второе утверждение ('"Сумма 2 непрерывных функций с несоизмеримыми (даже основными) периодами является непериодической функцией") для меня неочевидно, т.е. я не рискну утверждать, что оно верно, но и привести пример двух таких функций, у которых сумма является периодической, не могу. Хочется иметь доказательство (или ссылку на него). А вот отличные от константы функции, у которых есть несоизмеримые периоды (третье утверждение), если я не ошибся, на самом деле существуют, но тоже IMHO в статье лучше пояснить это утверждение (дать пример или ссылку на объяснение). -- gul 05:41, 16 июня 2010 (UTC)

Отвечаю. Не знаю, в каком виде это лучше в статью писать (эти примеры из статьи в труднодоступном журнале, хотя основные примеры есть и в Гелбаум-Олмстед "Контрпримеры в анализе"). По пунктам (даже добавлю парочку) - неверные утверждения:

• Есть ли периодическая функция не равная константе, у которой нет основного периода?

  Да, функция Дирихле.

• Не существует периодических функций, не равных константе, у которой периодами являются несоизмеримые числа.

  Пусть $Q_{1}=\{\alpha +n{\sqrt {2}},\alpha \in \mathbb {Q} ,n\in \mathbb {Z} \}$. Тогда функция, равная единице в точках, принадлежащих этому множеству, и нулю во всех остальных точках (такие есть, хотя бы трансцендентные), будет иметь периодом и любое рациональное число (например, 1) и ${\sqrt {2}}$. Но, например, ${\sqrt {3}}$ - не период.

• Сумма 2 непрерывных функций с несоизмеримыми (даже основными) периодами является непериодической функцией.

  Разность функции из предыдущего примера и функции Дирихле. Интересно, что ${\sqrt {2}}$ не соизмерим ни с одним периодом функции Дирихле.

• Пусть основной период функций f и g равен 2. 1) Обязательно ли будет существовать основной период у f(x)+g(x)? 2) Обязательно ли он будет равен 2?

  Нет на оба. Самое простое f(x):=-g(x) или можно прибавить какую-нибудь функцию с кратным периодом. Но можно и получить основной период у суммы функций, меньший, чем у обеих: пусть $f(2n)=1,n\in \mathbb {Z}$ и $f(x)=0$ иначе, а g(x)=f(x+1). Тогда f(x)+g(x) равна 1 во всех целых, т.е. основной период 1. Можно придумать пример и с уменьшением в n раз.

• Сумма 2 функций с соизмеримыми (даже основными) периодами $T_{1}$ и $T_{2}$ является функция с периодом НОК $(T_{1},T_{2})$.

  Пусть $f_{n}$ - функции с основным периодом n (хотя бы синусы). Тогда $g_{6}=f_{2}+f_{3}$ имеет основной период 6. Но у суммы $g_{6}+(-f_{2})$ "неожиданно" возникает основной период 3.

Вот такие необычности :) --infovarius 03:48, 19 июля 2010 (UTC)

Так, по порядку. Всё, что вы написали - корректно и совершенно понятно, никаких необычностей. В отличие от того, что написано в самой статье - оно мне по-прежнему представляется ошибочным.

Первое утверждение, которое показалось мне верным - "Cумма двух функций с соизмеримми (даже основными) периодами Т1 и Т2 - является функция с периодом НОК (T1,T2)". Я имел ввиду, что НОК(T1,T2) всегда является периодом суммы (хотя, конечно, не обязательно основным). Контрпример вы не привели - вы только показали, что НОК может быть не основным периодом, но с этим я и не спорил. То есть, первое из утверждений, названных неверными - на самом деле верно? Или я всё-таки что-то упускаю, и бывает, что НОК(Т1,Т2) вовсе не является периодом суммы функций с соизмеримыми периодами Т1 и Т2? Если я прав, то нужно исправить в статье (например, добавив слово "основной").

Второе утверждение, названное неверным - для меня как было неочевидным, так и осталось, и пока я склонен считать, что оно всё-таки тоже верное. Можете ли привести пример двух непрерывных функций с несоизмеримыми периодами, у которых сумма является периодической? Ваш пример (разность функции g(x), принимающей значения 1 в точках Q₁ и 0 в остальных, и функции Дирихле) во-первых, насколько я понимаю, не является периодической вовсе (в точке √2 значение 1, в точке 0 - 0, значит, √2 - не период), а во-вторых, эти функции не являются непрерывными. Я понимаю, что можно найти такие функции с несоизмеримыми периодами, сумма которых является периодической (как минимум, g(x) и -g(x) - имеют несоизмеримые периоды 1 и √2, а в сумме дают константу), но что-то мне подсказывает, что если добавить в условие непрерывность, то таких функций уже не окажется, и я даже предполагаю, что если у непрерывной функции, не равной константе, есть период, то у неё есть и основной период. Если это моё предположение верно, то из него, как мне кажется, следует и истинность второго из названных неверными в статье утверждений. Кроме того, предполагаю, что если исключить примитивный случай суммы функций с одними и теми же периодами (несоизмеримыми между собой), и рассматривать функции, не имеющие соизмеримых периодов, то их сумма всегда будет непериодической, а потому исправлять второе утверждение, убирая слово "непрерывных", вряд ли есть смысл.

Если эти примеры взяты из труднодоступного журнала - насколько авторитетен источник? Может ли быть в этом труднодоступном журнале дана ошибочная информация, и именно поэтому такие утверждения и не содержатся ни в каких более распространённых источниках? "Контрпримеры в анализе" - достаточно авторитетное издание, но там этих утверждений нет, там есть про функцию Дирихле и тому подобное, что не вызывает у меня вопросов и возражений.

Неужели в несложной математической статье многие месяцы написаны некорректные утверждения, а справедлиные исправления анонимов всё это время откатываются к некорректной версии? :-( -- gul 13:18, 21 августа 2010 (UTC)

Спасибо. Все Ваши замечания справедливые, исправил. Справедливости ради отмечу, что в том журнале было правильно, но в одном месте я написал неверную формулировку, в другом аноним исправил на неверную. --infovarius 16:38, 22 августа 2010 (UTC)

Всё-таки меня по-прежнему настораживает второе утверждение: "Сумма 2 функций с несоизмеримыми (даже основными) периодами является непериодической функцией". Мне кажется, что "даже основными" нужно убрать, т.к. сумма двух функций с несоизмеримыми основными периодами на мой взгляд всегда является непериодической. Или, если есть контрпример, было бы очень интересно на него посмотреть. -- gul 07:44, 26 августа 2010 (UTC)

Если основные существуют? Надо подумать. --infovarius 18:22, 26 августа 2010 (UTC)

Да, если существуют основные периоды, и они несоизмеримы. Насколько я понимаю, в Википедии правильнее не думать, а искать АИ. А если их нет, даже верное утверждение нужно исключать как ОРИСС (если оно не общеизвестно). Хотя лично мне было бы любопытно узнать, верно ли утверждение, что если у одной из периодических функций есть период, несоизмеримый ни с одним из периодов другой, то их сумма непериодическая. Мне кажется, что оно верно. Как и то, что у непрерывной периодической функции, не равной константе, всегда существует основной период. А у любой периодической функции с основным периодом все остальные периоды кратны основному. Если для этих утверждений есть АИ, думаю, их стоило бы включить в статью - вместе с указанием источников. К сожалению, я таких источников не знаю, поэтому сам сделать это не могу. -- gul 21:00, 26 августа 2010 (UTC)

И, кстати, если во втором утверждении убрать усиление "даже основными" (а его, похоже, всё-таки надо убрать), оно станет прямым следствием третьего утверждения (в смысле, существования контрпримера к третьему утверждению) - для функции с несоизмеримыми периодами разность её с самой собой даёт константу, т.е. периодическую функцию, и это перестаёт быть самостоятельным любопытным свойством. -- gul 06:01, 29 августа 2010 (UTC)

Убрал условие про основные периоды (всё-таки считаю, что сумма двух функций с несоизмеримыми основными периодами всегда апериодична) и добавил примеры функций, чтобы было понятнее. -- gul 16:59, 20 июля 2011 (UTC)