Парадокс туннельного эффекта

Парадокс туннельного эффекта — утверждение о том, что способность микрочастиц проходить через потенциальный барьер с высотой, большей их полной энергии, якобы противоречит закону сохранения энергии. Для выполнения закона сохранения энергии в этом случае, кинетическая энергия частиц якобы должна быть отрицательной.

Физический подход к объяснению парадокса базируется на том, что, вследствие неопределённости координаты частицы в процессе её прохождения через барьер, равной его ширине, как результат принципа неопределённости, возникает неопределённость в проекции импульса $p$ на направление туннелирования $x$ и её кинетической энергии $[\Delta T]$, так, что $[\Delta T]>(U_{m}-E)$, где $U_{m}$ — максимальная высота барьера, $E$ — полная энергия частицы. Поэтому нарушения закона сохранения энергии не происходит. Для простоты считаем, что частица движется только вдоль оси $x$ (то есть что $y$- и $z$- компонент нет).

Формулировка парадокса

Рассмотрим частицу массой $m$ с полной энергией $E$, проходящую через потенциальный барьер с высотой $U_{m}$. Пусть полная энергия частицы меньше высоты потенциального барьера $E<U_{m}$. Полная энергия частицы равна сумме кинетической и потенциальных энергий $E={\frac {p^{2}}{2m}}+U(x)$. Тогда в области, где высота потенциального барьера больше полной энергии частицы $U(x)>E$, кинетическая энергия должна быть отрицательной $T={\frac {p^{2}}{2m}}<0$.

Объяснение парадокса

Представление полной энергии частицы в виде суммы потенциальной и кинетической энергий имеет в квантовой механике иной смысл, чем для классической материальной точки. Использование формулы $E={\frac {p^{2}}{2m}}+U(x)$ означает, что мы одновременно знаем величину потенциальной $U(x)$ и кинетической $T={\frac {p^{2}}{2m}}$ энергии. Но для знания кинетической энергии необходимо точно знать импульс $p$, а для потенциальной энергии — координату $x$ частицы, что запрещено принципом неопределённости $[\Delta x]\,[\Delta p]\geqslant {\frac {\hbar }{2}}$ (где $[\Delta x]$ и $[\Delta p]$ — неопределённости измерения координаты и импульса, $\hbar$ — редуцированная постоянная Планка). Следовательно, чёткое разделение полной энергии на две составляющие в квантовой механике невозможно — и утверждение о таком-то точном значении кинетической энергии становится неправомерным.

Теперь осталось лишь выяснить, можно ли в результате измерения координаты частицы обнаружить её внутри потенциального барьера и при этом установить, что её полная энергия меньше энергетической высоты барьера.

Из формулы для туннельного эффекта следует, что частицы проникают внутрь потенциального барьера главным образом лишь на расстояние $l$, определяемое из приближённого равенства ${\frac {2}{\hbar }}{\sqrt {2m{\left(U_{m}-E\right)}}}l\approx 1$. Чтобы обнаружить частицу внутри потенциального барьера, мы должны измерить её координату с точностью порядка глубины её проникновения $[\Delta x]\sim l$. Но тогда вследствие принципа неопределённости импульс частицы приобретает дисперсию $[\Delta p]^{2}\geqslant {\frac {\hbar ^{2}}{4[\Delta x]^{2}}}={\frac {\hbar ^{2}}{4l^{2}}}$. В результате получаем ${\frac {[\Delta p]^{2}}{2m}}\geqslant U_{m}-E$.

Итак, вследствие неопределённости координаты частицы в процессе её прохождения через барьер, как результат принципа неопределённости, возникает неопределённость проекции импульса на направление туннелирования, что увеличивает кинетическую энергию частицы на величину, требуемую для прохождения барьера $U_{m}$.

См. также

• Туннельный эффект