Открыть главное меню

Параметрический осциллятор — осциллятор, параметры которого могут изменяться в определённой области.

Параметрический осциллятор принадлежит к классу незамкнутых колебательных систем, в которых внешнее воздействие сводится к изменению во времени её параметров. Изменения параметров, например, собственной частоты колебаний ω или коэффициента затухания β, приводит к изменению динамики всей системы.

Всем известный пример параметрического осциллятора -- это ребенок на качелях, где периодически изменяющаяся высота центра массы означает периодическое изменение момента инерции, что приводит к увеличению амплитуды колебаний качелей [3, с. 157]. Другим примером механического параметрического осциллятора служит физический маятник, точка подвеса которого совершает заданное периодическое движение в вертикальном направлении, или математический маятник, длина нити которого может периодически изменяться.

Широко используемым на практике примером параметрического осциллятора может служить используемый во многих областях параметрический генератор. Периодическое изменение ёмкости диода с помощью специальной схемы, называемой «насосом», приводит к классическим колебаниям варакторного параметрического генератора. Параметрические генераторы были разработаны в качестве малошумящих усилителей, которые особенно эффективны в радио- и микроволновом диапазоне частот. Поскольку в них периодически изменяются не активные (омические), а реактивные сопротивления, тепловые шумы в таких генераторах минимальны. В СВЧ-электронике волновод / ИАГ на основе параметрического осциллятора действует таким же образом. Для того, чтобы в системе возбудить параметрические колебания, конструкторы периодически изменяют параметр системы. Ещё одним классом приборов, часто использующих метод параметрических колебаний, являются преобразователи частоты, в частности, преобразователи от аудио к радиочастотам. Например, оптический параметрический генератор преобразует входную волну лазера в две выходные волны более низкой частоты (ωs, ωi). С параметрическим осциллятором тесно связано понятие параметрического резонанса.

Параметрический резонанс — это увеличение амплитуды колебаний в результате параметрического возбуждения. Параметрическое возбуждение отличается от классического резонанса, поскольку создаётся в результате временного изменения параметров системы и связано с её стабильностью и устойчивостью.

МатематикаПравить

Параметрами одномерного осциллятора, движущегося с трением, являются его масса  , коэффициент упругости   и коэффициент затухания  . Если эти коэффициенты зависят от времени, и  , то уравнение движения имеет вид

 

 

Сделаем замену переменной времени   , где  , что приводит уравнение (1) к виду

 

 

Сделаем еще одну замену   :

 

 

Это позволит избавиться от члена, связанного с затуханием:

 

 

Поэтому фактически, без всякого ограничения общности, вместо уравнения (1) достаточно рассмотреть уравнение движения вида

 

 

которое получилось бы из уравнения (1) при  .

Интересно, что в отличие от случая постоянной частоты  , аналитическое решение уравнения (5) в общем виде неизвестно. В частном случае периодической зависимости   уравнение (5) является уравнением Хилла, а в случае гармонической зависимости   — частным случаем уравнения Матье. Наиболее хорошо уравнение (5) изучено в случае, когда частота колебаний гармонически изменяется относительно некоторого постоянного значения.


1. Рассмотрим случай, когда  , то есть уравнение (5) имеет вид

 

 

Где   — частота собственных гармонических колебаний, амплитуда гармонических вариаций частоты  , постоянная   — небольшая вариация частоты. Надлежащим изменением начала отсчета времени постоянную h можно выбрать положительной, поэтому, не ограничивая общности, будем считать, что  . Вместо решения уравнения (6) поставим более скромный вопрос: при каких значения параметра  , происходит резкое возрастание амплитуды колебаний, то есть решение   неограниченно возрастает? Можно показать [1], что это происходит в том случае, когда

 

 

2. Рассмотрим случай, когда   , то есть уравнение (5) имеет вид

 

 

Иными словами, гармоническое изменение свободных колебаний происходит с частотой  . В этом случае параметрический резонанс, с точностью до членов  , происходит в случае, когда

 

 

В частности, укажем условия параметрического резонанса для малых колебаний математического маятника с колеблющейся в вертикальном положении точкой подвеса, для которого уравнения колебаний имеют вид

 

 

где  , и  . В случае, когда   и ограничиваясь первым порядком разложения по  , получим, что

 

 

Тот факт, что параметрический резонанс происходит в окрестности частоты свободных колебаний   и её удвоенного значения  , — не случаен. Можно показать (см. напр. [2]), что в случае уравнения

 

 

Параметрический резонанс имеет место, когда

 

 

Главный резонанс происходит при удвоенной частоте собственных колебаний гармонического маятника  , а ширина резонанса равна  . Важно также, что при наличии трения (см. ур-е (2)), в уравнении

 

 

Имеет место явление параметрического резонанса не при любых  , а лишь при тех  . Т.о., при наличии трения

 ,

 

что позволяет надлежащим выбором параметров  , , и  , в зависимости от практической необходимости, усилить или ослабить явление параметрического резонанса.

СсылкиПравить

  1. Пример параметрической неустойчивости [1]
  1. Броуновский параметрический осциллятор [2]

ЛитератураПравить

[1] Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. Курс теоретической физики I. Механика. Москва. Наука. 1973 с. 103—109

[2] А. М. Федорченко. Теоретическая механика. 1975. Киев. Высшая школа. 516 с.

[3] К. Магнус. Колебания: Введение в исследование колебательных систем. 1982. Москва. Мир. 304 с.