Функции Матьё — математические специальные функции, являющиеся периодическими решениями уравнения Матьё. Используются при решении различных задач математической физики, в частности, при описании волнового движения с эллиптическими граничными условиями, при изучении явления параметрического резонанса, при изучении нелинейных колебаний в различных разделах теоретической и экспериментальной физики и т. д.
Уравнение Матьё
правитьУравнением Матьё называется дифференциальное уравнение вида (каноническая форма):
где и - параметры, от которых зависит поведение решения (устойчивое или неустойчивое), данную зависимость иллюстрирует диаграмма Айнса-Стретта.
Решения уравнения Матьё
правитьСогласно теореме Флоке, всегда существуют решения уравнения Матьё в виде: ,
где имеет период . При эти решения являются периодическими с периодом и называются функциями Матьё. Они обозначаются как: . Функции Матьё можно представить в виде сумм косинусов или синусов: где величины являются функциями от величин в уравнении Матьё. Значения можно получить, подставляя решение уравнения Матьё в виде разложения по ряду Фурье в уравнение и приравнивая подобные члены.
См. также
правитьЛитература
править- Мэтьюз Дж., Уокер Р. Математические методы в физике / Пер. с англ. — М.: Атомиздат, 1972. — 392 с.
- Уравнение Матье, EqWorld