Поворот Вика

Поворот Вика — метод решения задач в пространстве Минковского посредством решения связанной задачи в евклидовом пространстве, используя комплексный анализ, в частности, понятие аналитического продолжения. Назван в честь Джанкарло Вика.

Обзор

Поворот Вика основывается на наблюдении, что метрика пространства Минковского:

$ds^{2}=-(dt^{2})+dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}$

становится метрикой четырёхмерного евклидова пространства:

$ds^{2}=d\tau ^{2}+dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}$,

если координата $t$ принимает только мнимые значения. То есть задачу в пространстве Минковского с координатами $x$, $y$, $z$, $t$, заменяя $t=i\tau$, можно свести к задаче в вещественном евклидовом пространстве с координатами $x$, $y$, $z$, $\tau$.

Статистическая и квантовая механика

Поворот Вика связывает статистическую механику с квантовой с помощью замены обратной температуры $1/(k_{B}T)$ мнимым временем $it/\hbar$. Рассмотрим большое число гармонических осцилляторов при температуре $T$. Относительная вероятность нахождения заданного осциллятора в состоянии с энергией $E$ есть $\exp(-E/k_{B}T)$, где $k_{B}$ константа Больцмана. Среднее значение наблюдаемой $Q$:

$\langle Q\rangle ={\frac {1}{Z}}\sum _{j}Q(j)e^{-E_{j}/(k_{B}T)}.$

Сейчас рассмотрим один квантовый гармонический осциллятор в суперпозиции базовых состояний, за время $t$ с Гамильтонианом $H$. Относительное изменение фаз базового состояния с энергией $E$ есть $\exp(-Eit/\hbar ),$ где $\hbar$ редуцированная постоянная Планка. Амплитуда вероятности того, что одинаковая суперпозиция состояний $|\psi \rangle =\sum _{j}|j\rangle$ приводит к произвольной суперпозиции $|Q\rangle =\sum _{j}Q_{j}|j\rangle$ есть, пропуская нормирующий множитель,

$\;\langle Q|e^{-iHt/\hbar }|\psi \rangle$

$=\sum _{j}Q_{j}e^{-E_{j}it/\hbar }\langle j|j\rangle$

$=\sum _{j}Q_{j}e^{-E_{j}it/\hbar }.$

Статика и динамика

Поворот Вика связывает статические задачи в $n$ измерениях с динамическими задачами в $n-1$ измерениях, «заменяя» одно пространственное измерение на время. В случае, где $n=2$ примером будет висящая струна с закреплёнными концами в гравитационном поле. Форма кривой струны задаётся функцией $y(x)$. Струна находится в положении равновесия, когда энергия находится в экстремуме; этим экстремумом обычно является минимум, поэтому это носит название принципа наименьшей энергии. Чтобы посчитать энергию струны, мы проинтегрируем плотность энергии:

$E=\int _{x}\left[k\left({\frac {dy(x)}{dx}}\right)^{2}+V(x)\right]dx,$

где $k$ — коэффициент упругости струны и $V(x)$ — потенциальная энергия гравитации.

Соответственная динамическая задача — бросание камня вверх; на траектории камня, в соответствии с принципом наименьшего действия, достигается локальный минимум действия (действие — это интеграл от функции Лагранжа):

$S=\int _{t}\left[m\left({\frac {dy(t)}{dt}}\right)^{2}-V(t)\right]dt$

Мы получили решение динамической задачи (с точностью до множителя $-i$) из решения статической при помощи поворота Вика, заменив $x$ на $t$, $dx$ на $idt$, и коэффициент упругости $k$ на массу камня $m$:

$-iS=\int _{t}\left[m\left({\frac {dy(t)}{idt}}\right)^{2}+V(t)\right](idt)$

$=-i\int _{t}\left[m\left({\frac {dy(t)}{dt}}\right)^{2}-V(t)\right]dt$

Ссылки

• Wick rotation Архивная копия от 1 октября 2020 на Wayback Machine — a blog introduction
• A Spring in Imaginary Time Архивная копия от 29 августа 2009 на Wayback Machine — a worksheet in Lagrangian mechanics illustrating how replacing length by imaginary time turns the parabola of a hanging spring into the inverted parabola of a thrown particle
• Температурные функции Грина — здесь поворот Вика используется в квантовой статистики при конечных температурах.