Порядок на мономах

Мономиальный порядок — линейный порядок $>$ на пространстве мономов (со старшим коэффициентом 1) в данном кольце многочленов, такой что для любой тройки мономов $u,v,w$, если $u\geq v$, то и $uw\geq vw$.

Мономиальные порядки используются для построения базисов Грёбнера и определения операции деления с остатком в кольцах многочленов с несколькими переменными. В частности, свойство набора многочленов быть базисом Грёбнера зависит от выбора конкретного мономиального порядка.

Примеры

1. Лексикографический (словарный) порядок $x_{1}>x_{2}>..>x_{n}$

$x_{1}^{k_{1}}...x_{n}^{k_{n}}>x_{1}^{l_{1}}...x_{n}^{l_{n}}\Longleftrightarrow$ (существует такое $i:k_{i}>l_{i}$ и $k_{j}=l_{j}$ при $j<i$)

Проще говоря, происходит упорядочивание переменных в одночленах в алфавитном порядке до первого различия в одночленах ($x_{1}^{2}x_{2}^{7}x_{3}^{3}x_{4}^{11}<x_{1}^{2}x_{2}^{7}x_{3}^{6}x_{4}^{2}$)

2. Степенно-словарный порядок

$u=x_{1}^{k_{1}}...x_{n}^{k_{n}}>v=x_{1}^{l_{1}}...x_{n}^{l_{n}}\Longleftrightarrow \sum k_{i}>\sum l_{i}$ или $\sum k_{i}=\sum l_{i}$, но при этом $u>v$ в словарном порядке

Происходит упорядочивание по сумме степеней; в случае равенства сумм происходит сравнение по словарному порядку ($x_{1}^{2}x_{2}^{7}x_{3}^{3}x_{4}^{11}>x_{1}^{2}x_{2}^{7}x_{3}^{6}x_{4}^{2}$)