Последовательный статистический критерий

Последовательный статистический критерий — последовательная статистическая процедура, используемая для проверки статистических гипотез в последовательном анализе.

Пусть наблюдению в статистическом эксперименте доступна случайная величина с неизвестным (полностью или частично) распределением (формально, в математической нотации, , где вероятностное пространство снабжено -алгеброй событий , и измерима относительно Борелевской -алгебры).

Пусть проверяется нулевая гипотеза против альтернативы .

На каждом этапе статистического эксперимента, независимо от других этапов, наблюдается случайная величина  — копия , до тех пор пока , где  — некоторый (случайный) момент остановки. Последовательный статистический критерий — это пара , где  — любая функция от , принимающая значение 0 или 1 (решение, соответственно, в пользу нулевой или альтернативной гипотезы).

Этому определению может быть придан формальный смысл с помощью понятия момента остановки относительно последовательности -алгебр , порожденных случайными величинами , . Тогда решающая функция должна быть измеримой относительно -алгебры событий, предшествующих моменту : .

Функция мощности критерия в "точке" определяется как . Если , то называется вероятностью ошибки первого рода (вероятность отвергнуть нулевую гипотезу, когда она верна). Если , то называется вероятностью ошибки второго рода (вероятность принять нулевую гипотезу, когда она неверна).

Рандомизированные последовательные критерииПравить

Рандомизированный последовательный критерий проверки гипотез может быть определен как пара  , где  ,  , и  ,   - (измеримые) функции, принимающие значения между 0 и 1,  . На каждом этапе   (если эксперимент до него дошел)   интерпретируется как вероятность остановится на этом этапе, без проведения дальнейших наблюдений, а   - как вероятность отвергнуть нулевую гипотезу, если остановка на этом этапе произошла.

  называется рандомизированным правилом остановки, а   - рандомизированным правилом принятия решения.

Если все   принимают только значения 0 (продолжение наблюдений) и 1 (остановка), то правило остановки   определяет нерандомизированный момент остановки  . Аналогично, если все   принимают только значения 0 (принятие нулевой гипотезы) и 1 (отвержение нулевой гипотезы), то правило принятия решения   определяет нерандомизированную решающую функцию:  , если  .

Функция мощности критерия   в "точке"   определяется как  , где   - математическое ожидание относительно  . Если  , то   - вероятность ошибки первого рода. Если  , то вероятность ошибки второго рода равна  , где  . Соответственно, средний объем выборки при использовании правила остановки   определяется как  , если   (в противном случае  ).

ПримерПравить

Последовательный критерий отношения вероятностей (критерий Вальда)

СсылкиПравить

  • Ширяев А. Н. Статистический последовательный анализ. Оптимальные правила остановки — М.: Наука, 1976.
  • Ghosh, M., Mukhopadhyay, N., and Sen, P.K. Sequential Estimation, New York: Wiley, 1997.