Потенциалы Лиенара — Вихерта

Потенциа́лы Лиена́ра — Ви́херта представляют собой простое лоренц-инвариантное выражение для потенциалов поля, создаваемого точечным электрическим зарядом, движущимся по заданной траектории. Они являются точным решением уравнений Максвелла в пустоте для случая одной частицы, записанным в калибровке Лоренца.

Выражения получены независимо друг от друга Альфредом-Мари Лиенаром (1898) и Эмилем Вихертом (1900).

Определение

Все величины в формулах для потенциалов Лиенара — Вихерта, включая скорость частицы и её радиус-вектор $\mathbf {R}$, берутся в момент времени $t'$, определяемый из уравнения

$c(t-t')=R.$

$t'$ также называют временем запаздывания.

Потенциалы поля в начале координат даются выражениями (в системе СГС)

$\varphi (t)=\left.{\frac {e}{R+{\mathbf {v} \mathbf {R} \over c}}}\right|_{t=t'},$

$\mathbf {A} (t)=\left.{\frac {e\mathbf {v} }{c\left(R+{\mathbf {v} \mathbf {R} \over c}\right)}}\right|_{t=t'},$

где $\mathbf {v}$ — скорость частицы, $\mathbf {R}$ — её радиус-вектор, $R=|\mathbf {R} |,$ $\varphi$ — скалярный потенциал, $\mathbf {A}$ — векторный потенциал магнитного поля, $e$ — заряд частицы, $c$ — скорость света.

В более общем случае, когда потенциалы ищутся в произвольной точке P системы отсчёта с радиусом-вектором $\mathbf {r} _{P}$, формулы для потенциалов можно объединить в одно лоренц-инвариантное выражение для 4-потенциала:

$A^{\mu }=e{\frac {u^{\mu }}{R_{\nu }u^{\nu }}},\qquad R_{\lambda }R^{\lambda }=0,$

где $u^{\mu }$ — 4-скорость частицы в момент времени $t'$, 4-вектор $R^{\mu }=\left[c(t-t'),\mathbf {r} _{P}-\mathbf {r} '\right],$ величина $\mathbf {r} '$ есть радиус-вектор частицы в момент времени $t'$.

Литература

• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — 512 с. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-02-014420-7..
• Lienard A. M. L’Éclairage électrique 16, 5, 53, 106 (1898).
• Wiechert E. Archives néerl., 2nd series, 5, 549 (1900).