Пифагорово простое число

Пифагорово простое число — простое число вида $4n+1$. Название связано с представимостью таких чисел в виде суммы двух квадратов (по аналогии с теоремой Пифагора): теорема Ферма — Эйлера утверждает, что эти простые могут быть представлены в виде суммы двух квадратов однозначно (с точностью до порядка), и что никакие другие простые числа не могут быть представлены таким образом, за исключением $2=1^{2}+1^{2}$. Все эти простые (включая 2) являются нормой гауссовых целых чисел, в то время как другие простые таковыми не являются.

Пифагоровых простых бесконечно много, первые такие числа:

5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73, 89, 97, 101, 109, 113, …

Квадратичный закон взаимности утверждает, что если $p$ и $q$ — различные простые нечётные числа, и по крайней мере одно из них пифагорово, то $p$ является квадратичным вычетом по модулю $q$ только тогда, когда $q$ — квадратичный вычет по модулю $p$; и наоборот, если ни $p$, ни $q$ не являются пифагоровыми, то $p$ является квадратичным вычетом по модулю $q$ тогда и только тогда, когда $q$ является квадратным невычетом по модулю $p$.

В поле $\mathbb {Z} /p$ с пифагоровым простым $p$ уравнение $x^{2}=-1$ имеет два решения.

Литература

• Бухштаб А. А. Теория чисел. — М.: Государственное учебно-педагогическое издательство Министерства просвещения РСФСР, 1960. — 375 с.
• Серпинский В. Что мы знаем и чего не знаем о простых числах. — М.: Физматгиз, 1940. — С. 40, 53—56.
• Сендеров В. А., Спивак А. В. Суммы квадратов и целые гауссовы числа // Квант. — 1999. — № 3. — С. 14—22.
• Dickson L. E. Vol. II. — Ch. VI. Sum of two squares // History of the Theory of Numbers. — N. Y.: Dover Publications, 2005.