Разбиение единицы

Разбиение единицы — конструкция, используемая в топологии для удобства работы с многообразием как множеством карт.

С помощью разбиения единицы определяется, в частности, интеграл от дифференциальной формы на многообразии.

КонструкцияПравить

Пусть дано открытое покрытие топологического пространства   открытыми множествами  . Разбиением единицы подчиненным покрытию   называется набор неотрицательных непрерывных вещественных функций   на  , обладающих следующими свойствами:

  •  
  • Носитель каждой из функций   целиком содержится в одном из множеств  .
  • Для любой точки   имеем   (то есть при любом   для не более, чем счётного множества функций   отлично от нуля и ряд  , где   сходится к 1. Этот ряд абсолютно сходится, поэтому сумма ряда не зависит от порядка членов).

Если для любой точки   существует окрестность  , такая что пересечение   непусто не более чем для конечного числа индексов  , то такое разбиение единицы называется локально конечным.

СвойстваПравить

ЛитератураПравить

Энгелькинг Р. Общая топология / перевод М.Я.Антоновского и А.В.Архангельского. — М: Мир, 1986. — 752 с.

Ж. де Рам. Дифференцируемые многообразия / перевод Д.А.Василькова. — М: иностранной литературы, 1956. — 250 с.