Риччи-солитон — решение потока Риччи при котором пространство не меняется или меняется только изменением масштаба. Названы в честь Грегорио Риччи-Курбастро.

Многообразия Эйнштейна являются простейшим примером риччи-солитонов, для них параметриазация получаемая из потока Риччи является постоянной.

В общем случае, поток ричи определяет однопараметрическое семейство диффеоморфизмов на многообразии, получаемое интегрированием некого векторного поля , удовлетвояющего уравнению

где кривизной Риччи тензор, и производная Ли. Если , то условие превращается в условие Эйнштейна

  • Если поле   является градиентом некой функции  , то солитон называется градиентным. В этом случае уравнение принимает вид
     
а сама функция   называется потенциалом солитона.
  • При   солитон называется стационарным, в этом случае рeшение существует на всей вещественной прамой и геометрически не меняется во времени; может меняться только параметризация фиксированного многообразия.
  • При   солитон сжимающийся, рeшение можно определить на луче   .
  • При   солитон растягивающийся, рeшение можно определить на луче  .

Свойства

править
  • Для любого конуса   над сферой с римановой метрикой оператора кривизны   существует единственный растягивающийся градиентный риччи-солитон  , такой, что   сходится к   при   по Громову — Хаусдрофу.[1]
  • Для любого градиентного солитона с потенциалом   выполняется тождество
     
где   обозначает тензор Риччи, а  скалярную кривизну.

Примеры

править
  • Евлидово пространство является грдиентным Риччи-солитоном; потенциалом может служить любая функция пропорциональная квадрату расстояния до фиксированной точки; в зависимости от выбора коэффициента пропорциональности можно получить стационарный, сжимающийся, а также растягивающийся солитон.
  • Плоскость   с метрикой
     
является стационарным градиентным солитоном с потенциалом  . Это так называемая сигара Гамильтона.

Примечания

править

Литература

править
  • arXiv:0908.2006
  • Chow, Bennett, Peng Lu, and Lei Ni. Hamilton's Ricci flow. — American Mathematical Soc., 2006.