Сверхсоставное число

Сверхсоставное число — натуральное число с бо́льшим числом делителей, чем любое меньшее натуральное число.

Первые четыре сверхсоставных числа: 1, 2, 4, 6 и их разложения на делители

ИсторияПравить

Термин был предложен Рамануджаном в 1915 году. Однако Жан-Пьер Кахане[en] рассматривал их раньше, и, возможно, они были известны уже Платону, который описал число 5040 как идеальное количество граждан города, так как 5040 имеет больше делителей, чем любое меньшее число.[1]

ПримерыПравить

В таблице представлены первые 38 сверхсоставных числа (последовательность A002182 в OEIS).

номер Сверхсоставное разложение

на простые

число

делителей

разложение на

праймориалы

1 1 1
2 2   2  
3 4   3  
4 6   4  
5 12   6  
6 24   8  
7 36   9  
8 48   10  
9 60   12  
10 120   16  
11 180   18  
12 240   20  
13 360   24  
14 720   30  
15 840   32  
16 1260   36  
17 1680   40  
18 2520   48  
19 5040   60  
20 7560   64  
21 10080   72  
22 15120   80  
23 20160   84  
24 25200   90  
25 27720   96  
26 45360   100  
27 50400   108  
28 55440   120  
29 83160   128  
30 110880   144  
31 166320   160  
32 221760   168  
33 277200   180  
34 332640   192  
35 498960   200  
36 554400   216  
37 665280   224  
38 720720   240  

Разложение на простыеПравить

В разложении сверхсоставных чисел участвуют самые маленькие простые множители, и при этом не слишком много одних и тех же.

По основной теореме арифметики каждое натуральное число   имеет единственное разложение на простые:

 

где   простые, и степени   положительные целые числа. Число делителей   числа   можно выразить следующим образом:

 

Таким образом, для сверхсоставного числа   выполняется следующее

  • Числа   являются первыми   простыми числами.
  • Последовательность степеней должна быть невозрастающей, то есть  .
    • Это свойство равносильно тому, что сверхсоставное число является произведением праймориалов.
  • За исключением двух особых случаев n = 4 И N = 36, последняя степень   равна единице.

В частности 1, 4 и 36 являются единственными сверхсоставными квадратами.

Хотя описанные выше условия являются необходимыми, они не являются достаточными. Например, 96 = 25 × 3 удовлетворяет всем вышеперечисленным условиям и имеет 12 делителей, но не является сверхсоставным, поскольку существует меньшее число 60, которое имеет то же число делителей.

Асимптотический рост и плотностьПравить

Существуют постоянные a и b, обе больше, чем 1, такие, что

 

Где   обозначает число сверхсоставных чисел меньше либо равных  .

Первая часть неравенства была доказана Палом Эрдешем в 1944 году; вторую доказал Жан-Луи Николас[en] в 1988 году.

Известно также, что

 

и

 

СвойстваПравить

  • Не все сверхсоставные числа являются числами харшад по основанию 10;
    • первый контрпример это 245 044 800, это число имеет сумму цифр 27, но на 27 не делится.

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Kahane, Jean-Pierre (February 2015), Bernoulli convolutions and self-similar measures after Erdős: A personal hors d'oeuvre, Notices of the American Mathematical Society Т. 62 (2): 136–140 .

СсылкиПравить

СсылкиПравить

ЛитератураПравить