Открыть главное меню

Сглаженный восьмиугольник

Слаженный восьмиугольник.
Семейство максимально плотных упаковок сглаженного восьмиугольника.

Сглаженный восьмиугольник — это область плоскости, предположительно, имеющая самую малую наибольшую плотность упаковки плоскости из всех центрально симметричных выпуклых фигур[1]. Фигура получается заменой углов правильного восьмиугольника секцией гиперболы, которая касается двух сторон угла и асимптотически приближается к продолжениям сторон восьмиугольника, смежным сторонам угла.

Максимальная плотность упаковкиПравить

Сглаженный восьмиугольник имеет максимальную плотность упаковки

 [2]

Эта плотность меньше максимальной плотности упаковки кругов, которая равна

 

Максимальная плотность упаковки обычных правильных восьмиугольников равна

 

что также слегка меньше максимальной плотности упаковки кругов, но больше плотности упаковки сглаженного восьмиугольника[3].

Сглаженный восьмиугольник достигает максимальной плотности упаковки не только для единственной упаковки, а для однопараметрического семейства упаковок. Все они являются решёточными упаковками[4].

Для трёхмерного пространства гипотеза Улама об упаковках[en] утверждает, что нет выпуклой фигуры, имеющей наибольшую плотность упаковки, меньшую упаковки шаров.

ПостроениеПравить

 
Углы сглаженного восьмиугольника можно найти путём вращения трёх правильных восьмиугольников, центры которых образуют треугольник с постоянной площадью.

При рассмотрении семейств максимально плотных упаковок сглаженного восьмиугольника, требование, что плотность упаковки остаётся неизменной при изменении точки соприкосновения соседних восьмиугольников, может быть использовано для определения формы углов. На рисунке три восьмиугольника вращаются, в то время как площадь треугольника, образованного центрами этих восьмиугольников, не меняется. Для правильных восьмиугольников красные и синие фрагменты перекрываются, так что для возможности вращения необходимо углы срезать в точке, лежащей на полпути между центрами восьмиугольников, что даёт кривую, которая оказывается гиперболой.

 
Построение сглаженного восьмиугольника (чёрная линия), касательная гипербола (красная линия) и асимптоты этой гиперболы (зелёные линии) и касательные стороны к гиперболе (синие линии).

Гипербола строится как касательная к двум сторонам восьмиугольника и имеющая асимптотами две смежные этим сторонам стороны восьмиугольника. Расположим правильный восьмиугольник с радиусом описанной окружности   и центром в точке  . Одна вершина будет находиться в точке  . Определим две константы, и m:

 
 

Гипербола тогда задаётся уравнением

 

или, в эквивалентной параметризованной форме (только для правой части гиперболы):

 

Порция гиперболы, которая образует углы, задаётся значениями параметра

 

Прямые восьмиугольника, касательные гиперболе

 

Асимптоты к гиперболе

 

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Reinhardt, 1934, с. 216-230.
  2. Weisstein, Eric W. Smoothed Octagon (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  3. Atkinson, Jiao, Torquato, 2012.
  4. Kallus, 2013.

ЛитератураПравить

СсылкиПравить