Открыть главное меню

Решётка в теории групп может иметь два значения:

  • Дискретная подгруппа в группе Ли, факторпространство по которой имеет конечный объём в смысле меры Хаара. В частности, любая дискретная кокомпактная подгруппа группы Ли — решётка.
  • Свободная коммутативная группа конечного ранга (то есть изоморфная ) с билинейной формой на ней.

Решётки в евклидовом пространствеПравить

В случае  , решётки — это дискретные абелевы подгруппы максимального ранга, то есть подгруппы, имеющие вид

 

где вектора   линейно независимы

Связанные понятияПравить

Решётка   называется:

  • Целой, если скалярное произведение между любыми двумя её векторами целое:
 
  • Чётной, если норма[1] любого её вектора чётная:
 
  • Унимодулярной, если фактор по ней имеет объём 1, или, что то же самое, если объём 1 имеет её фундаментальный параллелепипед.

Двойственной решёткой к решётке   называется решётка  , определённая как

 

Решётка называется самодвойственной, если она совпадает с двойственной к себе.

СвойстваПравить

  • Если решётка   целая, то  .
  • Кообъёмы решётки и двойственной к ней в произведении дают 1.
  • Целая унимодулярная решётка автоматически самодвойственна.
  • Чётные самодвойственные решётки существуют только в пространствах размерностей, кратных восьми.

Решётки в SL(2,R)Править

В случае группы Ли  , решётка уже не обязательно кокомпактна: так, для подгруппы   объём фактора по ней конечен, однако   не является кокомпактной (фактор по ней — единичное касательное расслоение к модулярной поверхности, имеющей каспидальную особенность, и, тем самым, некомпактной).

ПримечанияПравить

  1. В теории решёток в евклидовом пространстве, принято называть нормой не длину вектора, а её квадрат.

ЛитератураПравить

  • Дж. Конвей, Н. Слоэн. Упаковки шаров, решетки и группы. — М.: Мир, 1990.