Система корней

Систе́ма корне́й (корнева́я систе́ма) в математике — конфигурация векторов в евклидовом пространстве, удовлетворяющая определённым геометрическим свойствам.

Эта концепция является фундаментальной в теории групп Ли и алгебр Ли. Диаграммы Коксетера — Дынкина, использующиеся при классификации систем корней, встречается в разделах математики, не связанных явно с группами Ли, например, в теории сингулярностей.

ОпределениеПравить

Пусть   — конечномерное евклидово пространство с обычным скалярным произведением, обозначаемым  . Система корней в   — это конечное множество   ненулевых векторов (называемых корнями), которые удовлетворяют следующим свойствам.

 
Целостное условие для   заставляет   лежать на одной из вертикальных прямых. Комбинирование этого условия с целостным условием для   сводит возможные углы между   и   не более чем к двум, для каждой из вертикальных прямых.
  1.   является линейной оболочкой системы корней.
  2. Если два корня  ,   являются коллинеарными векторами, то либо они совпадают, либо  
  3. Для каждого корня   множество   замкнуто относительно отражения в гиперплоскости, перпендикулярной   То есть для любых двух корней   и   множество   содержит отражение  
     
  4. (Целостное условие). Если   и   — корни в   то проекция   на прямую, проходящую через   есть полуцелое, кратное   То есть
     

ЗамечанияПравить

  • С учётом свойства 3 целостное условие эквивалентно утверждению, что разность между   и его отражением   равна корню  , умноженному на некоторое целое число.
  • Оператор
     ,
определённый свойством 4, не является внутренним произведением. Он, вообще говоря, не симметричен и линеен только по первому аргументу.

Размерность   называют рангом системы корней.

Классификация систем корней по схемам ДынкинаПравить

 

Примеры систем корней ранга 1 и ранга 2Править

Существует только одна система корней ранга 1. Она состоит из двух ненулевых векторов   Эта система называется  

В ранге 2 существуют четыре возможных варианта   где  

   
Система корней   Система корней  
   
Система корней   Система корней  
Система корней ранга 2

См. такжеПравить

СсылкиПравить