Открыть главное меню

Поле частных (называемое также полем отношений) в общей алгебре определяется для области целостности как наименьшее поле[1][2], содержащее Поле частных для может обозначаться или

Элементы поля частных могут быть (однозначно) конструктивно построены из элементов как классы эквивалентности некоторого бинарного отношения (см. ниже).

ПримерыПравить

  • Классическим примером области целостности является кольцо целых чисел; наименьшее расширение его до поля даёт поле рациональных чисел  
  • Возьмём в качестве   кольцо гауссовых целых чисел вида   где   — обычные целые числа. Тогда   — поле рациональных гауссовых чисел.
  • Поле частных для любого поля изоморфно исходному полю.
  • Пусть   — поле. Тогда кольцо многочленов   с коэффициентами из этого поля всегда является областью целостности. Поле частных для   обозначается   и называется полем рациональных функций[3].

ПостроениеПравить

Поле частных для области целостности   строится так же, как поле рациональных чисел на основе кольца целых чисел[4] (см. Рациональное число#Формальное определение). Рассмотрим множество упорядоченных пар элементов   и определим на нём отношение эквивалентности, как для дробей: пары   и   эквивалентны, если   Поле частных   определяется как совокупность классов эквивалентности (факторкольцо). Класс, содержащий пару   по аналогии с обычными дробями будем обозначать   или  

Сумма   и   определяется, как для дробей:   Аналогично определяется умножение:   Несложно проверить[4]:

  • результаты этих операций не зависят от выбора представителей в их классе эквивалентности;
  • сложение обратимо, то есть всегда возможно вычитание;
  • классы   и   играют роль нуля и единицы соответственно;
  • все аксиомы кольца выполнены.

Поэтому  коммутативное кольцо. Оно содержит кольцо, изоморфное исходному кольцу   — для доказательства сопоставим   класс, содержащий пару  

Далее установим, что у каждого ненулевого класса   имеется обратный элемент   определённый однозначно (в этом месте доказательства используется отсутствие делителей нуля), и этот факт означает выполнимость деления. Таким образом, построенная структура   является полем.

Поле частных для заданной области целостности единственно с точностью до изоморфизма[4].

Аналогичное построение может быть произведено для любого коммутативного кольца, результатом будет кольцо частных, которое, вообще говоря, не является полем — среди его элементов могут быть необратимые.

СвойстваПравить

Поле частных кольца   удовлетворяет следующему универсальному свойству: если h :   инъективный гомоморфизм колец из  ' в поле  , то существует единственный гомоморфизм колец g:   , который совпадает с h на элементах  . Это универсальное свойство можно выразить такими словами: поле частных — это стандартный способ сделать элементы кольца обратимыми, соответственно, кольцо частных — это стандартный способ сделать некоторое подмножество элементов кольца обратимыми.

В терминах теории категорий конструкцию поля частных можно описать следующим образом. Рассмотрим категорию, объекты которой — области целостности, а морфизмы — инъективные гомоморфизмы колец. Существует забывающий функтор из категории полей в эту категорию (так как все гомоморфизмы полей инъективны). Оказывается, что у этого функтора существует левый сопряжённый, он и сопоставляет целостному кольцу его поле частных.

ПримечанияПравить

  1. Зарисский, Самюэль, 1963, с. 56.
  2. Stephan Foldes. Fundamental structures of algebra and discrete mathematics. — 1994. — P. 128.
  3. Pierre Antoine Grillet. Abstract algebra. — 2007. — P. 124.
  4. 1 2 3 Куликов, 1979, с. 439—443.

ЛитератураПравить

  • Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра. — М.: ИЛ, 1963. — Т. 1. — 374 с.
  • Куликов Л. Я. Алгебра и теория чисел: Учеб. пособие для педагогических институтов. — М.: Высшая школа, 1979. — 559 с.</ref>

СсылкиПравить