Седловая поверхность

Седловая поверхность (устаревшее название — антикластическая) — гладкая поверхность, все точки которой седловые, то есть имеют отрицательную гауссову кривизну.

Седло для верховой езды

Термин происходит от специфической формы поверхности, напоминающей седло для верховой езды, которое имеет изгибы вверх и вниз.

Определение

Поверхность $\Pi$ называется (строго) седловой, если для любой точки $p\in \Pi$ произведение главных кривизн $k_{1}(p){\cdot }k_{2}(p)$ неположительно (отрицательно).

Примеры

Гиперболический параболоид

Обезьянье седло

• Минимальная поверхность
• Однополостный гиперболоид
• Гиперболический параболоид
• Обезьянье седло

Свойства

• Седловые поверхности имеют отрицательную гауссову кривизну.
• От седловой поверхности нельзя отрезать горбушку плоскостью. Более точно: пересечение плоскости с седловой поверхностью не имеет компактных компонент.
  • Это свойство используется при определении седловых поверхностей в негладком случае.

Вариации и обобщения

• Понятие седловой поверхности обобщается на негладкий случай, как поверхность с которой нельзя срезать шапочку. Более точно поверхность $s(u,v)$ в $\mathbb {R} ^{3}$ называется (обобщенно) седловой поверхностью если для любой линейной функции $\ell \colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R}$ композиция $\ell \circ s$ не имеет строгих локальных минимумов и максимумов.

Поверхность в природе

• В верхней части хватательных конечностей раков-богомолов находится седлообразное образование, способствующее скоростному захвату добычи посредством сжатия и растяжения подобно пружине.

См. также

• Поверхность второго порядка
• Коническая поверхность
• Гиперболоид
• Параболоид
• Эллипсоид

Литература

• Гильберт Д., Кон-Фоссен С. Наглядная геометрия. — URSS, 1936.
• Фоменко В. Т. Поверхности отрицательной кривизны. — Соросовский образовательный журнал, N 12, 1999.