Открыть главное меню

Поверхность второго порядка

Поверхность второго порядка — геометрическое место точек трёхмерного пространства, прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида

в котором по крайней мере один из коэффициентов , , , , , отличен от нуля.

Поверхности второго порядка, получающиеся при различных значениях параметров уравнения

Содержание

Типы поверхностей второго порядкаПравить

Цилиндрические поверхностиПравить

Поверхность   называется цилиндрической поверхностью с образующей  , если для любой точки   этой поверхности прямая, проходящая через эту точку параллельно образующей  , целиком принадлежит поверхности  .

Теорема (об уравнении цилиндрической поверхности).
Если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат поверхность   имеет уравнение  , то   — цилиндрическая поверхность с образующей, параллельной оси  .

Кривая, задаваемая уравнением   в плоскости  , называется направляющей цилиндрической поверхности.

Если направляющая цилиндрической поверхности задаётся кривой второго порядка, то такая поверхность называется цилиндрической поверхностью второго порядка.

Эллиптический цилиндр: Параболический цилиндр: Гиперболический цилиндр:
     
     
Пара совпавших прямых: Пара совпавших плоскостей: Пара пересекающихся плоскостей:
     

Конические поверхностиПравить

 
Коническая поверхность.

Поверхность   называется конической поверхностью с вершиной в точке  , если для любой точки   этой поверхности прямая, проходящая через   и  , целиком принадлежит этой поверхности.

Функция   называется однородной порядка  , если   выполняется следующее:  

Теорема (об уравнении конической поверхности).
Если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат поверхность   задана уравнением  , где   — однородная функция, то   — коническая поверхность с вершиной в начале координат.

Если поверхность   задана функцией  , являющейся однородным алгебраическим многочленом второго порядка, то   называется конической поверхностью второго порядка.

  • Каноническое уравнение конуса второго порядка имеет вид:
 

Поверхности вращенияПравить

Поверхность   называется поверхностью вращения вокруг оси  , если для любой точки   этой поверхности окружность, проходящая через эту точку в плоскости   с центром в   и радиусом  , целиком принадлежит этой поверхности.

Теорема (об уравнении поверхности вращения).
Если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат поверхность   задана уравнением  , то   — поверхность вращения вокруг оси  .

Эллипсоид: Однополостной гиперболоид: Двуполостной гиперболоид: Эллиптический параболоид: Гиперболический параболоид:
         
         

В случае, если  , перечисленные выше поверхности являются поверхностями вращения.

Эллиптический параболоидПравить

Уравнение эллиптического параболоида имеет вид

 

Если  , то эллиптический параболоид представляет собой поверхность вращения, образованную вращением параболы, параметр которой  , вокруг вертикальной оси, проходящей через вершину и фокус данной параболы.

Пересечение эллиптического параболоида с плоскостью   является эллипсом.

Пересечение эллиптического параболоида с плоскостью   или   является параболой.

Гиперболический параболоидПравить

Уравнение гиперболического параболоида имеет вид

 

Пересечение гиперболического параболоида с плоскостью   является гиперболой.

Пересечение гиперболического параболоида с плоскостью   или   является параболой.

Ввиду геометрической схожести гиперболический параболоид часто называют «седлом».

Центральные поверхностиПравить

Если центр поверхности второго порядка существует и единственен, то его координаты   можно найти, решив систему уравнений:

 

Матричный вид уравнения поверхности второго порядкаПравить

Уравнение поверхности второго порядка может быть переписано в матричном виде:

 

Также можно выделить квадратичную и линейную части друг от друга:

 

Если обозначить   , то уравнение приобретает следующий вид:

 

ИнвариантыПравить

Значения следующих величин сохраняются при ортогональных преобразованиях базиса:

  • Связанных с матрицей  :
    •  
    •  , где   — минор второго порядка матрицы A, расположенный в строках и столбцах с индексами i и j.
    •  
  • Связанных с блочной матрицей  :[источник не указан 1926 дней]
    •  
    •  
    •  

При параллельном переносе системы координат величины   остаются неизменными.[источник не указан 1926 дней] При этом:

  •   остается неизменной только если  
  •   остается неизменной только если  

Классификация поверхностей второго порядка относительно значений инвариантовПравить

ЛитератураПравить

См. такжеПравить