Открыть главное меню

Поверхность второго порядка

Поверхность второго порядка — геометрическое место точек трёхмерного пространства, прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида

в котором по крайней мере один из коэффициентов , , , , , отличен от нуля.

Поверхности второго порядка, получающиеся при различных значениях параметров уравнения

Содержание

Типы поверхностей второго порядкаПравить

Цилиндрические поверхностиПравить

Поверхность   называется цилиндрической поверхностью с образующей  , если для любой точки   этой поверхности прямая, проходящая через эту точку параллельно образующей  , целиком принадлежит поверхности  .

Теорема (об уравнении цилиндрической поверхности).
Если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат поверхность   имеет уравнение  , то   — цилиндрическая поверхность с образующей, параллельной оси  .

Кривая, задаваемая уравнением   в плоскости  , называется направляющей цилиндрической поверхности.

Если направляющая цилиндрической поверхности задаётся кривой второго порядка, то такая поверхность называется цилиндрической поверхностью второго порядка.

Эллиптический цилиндр: Параболический цилиндр: Гиперболический цилиндр:
     
     
Пара совпавших прямых: Пара совпавших плоскостей: Пара пересекающихся плоскостей:
     

Конические поверхностиПравить

 
Коническая поверхность.
Основная статья: Коническая поверхность

Поверхность   называется конической поверхностью с вершиной в точке  , если для любой точки   этой поверхности прямая, проходящая через   и  , целиком принадлежит этой поверхности.

Функция   называется однородной порядка  , если   выполняется следующее:  

Теорема (об уравнении конической поверхности).
Если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат поверхность   задана уравнением  , где   — однородная функция, то   — коническая поверхность с вершиной в начале координат.

Если поверхность   задана функцией  , являющейся однородным алгебраическим многочленом второго порядка, то   называется конической поверхностью второго порядка.

  • Каноническое уравнение конуса второго порядка имеет вид:
 

Поверхности вращенияПравить

Поверхность   называется поверхностью вращения вокруг оси  , если для любой точки   этой поверхности окружность, проходящая через эту точку в плоскости   с центром в   и радиусом  , целиком принадлежит этой поверхности.

Теорема (об уравнении поверхности вращения).
Если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат поверхность   задана уравнением  , то   — поверхность вращения вокруг оси  .

Эллипсоид: Однополостной гиперболоид: Двуполостной гиперболоид: Эллиптический параболоид: Гиперболический параболоид:
         
         

В случае, если  , перечисленные выше поверхности являются поверхностями вращения.

Эллиптический параболоидПравить

Уравнение эллиптического параболоида имеет вид

 

Если  , то эллиптический параболоид представляет собой поверхность вращения, образованную вращением параболы, параметр которой  , вокруг вертикальной оси, проходящей через вершину и фокус данной параболы.

Пересечение эллиптического параболоида с плоскостью   является эллипсом.

Пересечение эллиптического параболоида с плоскостью   или   является параболой.

Гиперболический параболоидПравить

Уравнение гиперболического параболоида имеет вид

 

Пересечение гиперболического параболоида с плоскостью   является гиперболой.

Пересечение гиперболического параболоида с плоскостью   или   является параболой.

Ввиду геометрической схожести гиперболический параболоид часто называют «седлом».

Центральные поверхностиПравить

Если центр поверхности второго порядка существует и единственен, то его координаты   можно найти, решив систему уравнений:

 

Матричный вид уравнения поверхности второго порядкаПравить

Уравнение поверхности второго порядка может быть переписано в матричном виде:

 

Также можно выделить квадратичную и линейную части друг от друга:

 

Если обозначить   , то уравнение приобретает следующий вид:

 

ИнвариантыПравить

Значения следующих величин сохраняются при ортогональных преобразованиях базиса:

  • Связанных с матрицей  :
    •  
    •  , где   — минор второго порядка матрицы A, расположенный в строках и столбцах с индексами i и j.
    •  
  • Связанных с блочной (расширенной) матрицей  [1]
    •  
    •  
    •  

Такие инварианты также иногда называют полуинвариантами или семи-инвариантами.

При параллельном переносе системы координат величины   остаются неизменными. При этом:

  •   остается неизменной только если  
  •   остается неизменной только если  

Классификация поверхностей второго порядка относительно значений инвариантовПравить

Поверхность Уравнение Инварианты
Эллипсоид        
Мнимый эллипсоид    
Точка    
Однополостный гиперболоид     или    
Двуполостный гиперболоид    
Конус    
Эллиптический параболоид        
Гиперболический параболоид    
Эллиптический цилиндр        
Мнимый эллиптический цилиндр    
Прямая (пара мнимых пересекающихся плоскостей)    
Гиперболический цилиндр      
Пара пересекающихся плоскостей    
Параболический цилиндр      
Пара параллельных плоскостей      
Пара мнимых параллельных плоскостей    
Плоскость    

ПримечанияПравить

  1. Александров П. С. Глава XIX. Общая теория поверхностей второго порядка. // Лекции по аналитической геометрии. — Наука, 1968. — С. 504-506. — 911 с.

ЛитератураПравить

См. такжеПравить