Ковёр Аполлония

(перенаправлено с «Сетка Аполлония»)

Ковёр Аполлония, или сетка Аполлония — фрактал, строящийся по трём попарно касающимся окружностям. Представляет собой предельное множество всевозможных последовательностей окружностей, каждая из которых касается трёх уже построенных. Назван в честь греческого математика Аполлония Пергского.

Пример сетки Аполлония

Построение

править

Начнём с трёх окружностей, каждая из которых является касательной к двум другим. Далее добавляем к имеющейся фигуре рекурсивно окружности, каждая из которых касается каких-нибудь трёх уже построенных окружностей. На первом шаге мы добавим две, на втором шесть, и так далее.

Продолжая построение, мы добавляем 2·3n новых окружностей на n-м шаге.

Замыкание построенных окружностей называется сеткой Аполлония.

Свойства

править
  • Сетка Аполлония имеет Хаусдорфову размерность около 1,3057[1].
  • Сетку Аполлония можно представить как объединение двух подмножеств, гомеоморфных треугольнику Серпинского, с общими вершинами.
  • Подгруппа группы преобразований Мёбиуса, состоящая из таких преобразований, которые переводят сетку Аполлония в себя, действует транзитивно на окружностях сетки.
  • Сетку Аполлония можно определить как предельное множество группы преобразований плоскости образованной инверсиями в четырёх попарно касательных окружностях.

Кривизны

править

Кривизна окружности определяется как обратное к её радиусу.

  • Отрицательная кривизна указывает на то, что все другие круги касаются этой окружность изнутри. Это ограничивающая окружность.
  • Нулевая кривизна даёт линию (окружность с бесконечным радиусом).
  • Положительная кривизна указывает на то, что все другие круги касаются этой окружность снаружи. Этот круг находится внутри круга с отрицательной кривизной.

В сетке Аполлония все окружности имеют положительную кривизну, кроме одной, ограничивающей окружности.

Целые сетки Аполлония

править

Предположим,   обозначают кривизны четырёх попарно касающихся окружностей. По теореме Декарта

 

Отсюда следует, что если четыре попарно касающиеся окружности имеют целые кривизны, то и все остальные окружности в их сетке Аполлония имеют целые кривизны. Имеется бесконечно много таких целых сеток. [2] Ниже приведены несколько целых сеток с отмеченными кривизнами окружностей.

Вариации и обобщения

править
 
Пространственная сетка Аполлония

Трёхмерный эквивалент сетки Аполлония — Аполлониева упаковка сфер.

См. также

править

Примечания

править
  1. Curtis T. McMullen. Hausdorff Dimension and Conformal Dynamics, III: Computation of Dimension : [арх. 17 мая 2011] // American Journal of Mathematics. — Vol. 120. — P. 691—721. — doi:10.1353/ajm.1998.0031.
  2. Ronald L. Graham, Jeffrey C. Lagarias, Colin M. Mallows, Alan R. Wilks, and Catherine H. Yan; "Apollonian Circle Packings: Number Theory", J. Number Theory, 100 (2003), 1–45.

Литература

править
  • А. А. Кириллов. Часть II. Ковер Аполлония // Повесть о двух фракталах. — 2-е изд., исправленное. — М.: Издательство МЦНМО, 2010. — (Летняя школа «Современная математика»). — ISBN 978-5-94057-670-9.