Сетка Аполлония

Пример сетки Аполлония

Сетка Аполлонияфрактал, строящийся по трём попарно касающимся окружностям. Представляет собой предельное множество всевозможных последовательностей окружностей, каждая из которых касается трёх уже построенных. Назван в честь греческого математика Аполлония Пергского.

ПостроениеПравить

Начнём с трех окружностей, каждая из которых является касательной к двум другим. Далее добавляем к имеющейся фигуре рекурсивно окружности, каждая из которых касается каких-нибудь трёх уже построенных окружностей. На первом шаге мы добавим две, на втором шесть, и так далее.

Продолжая построение, мы добавляем 2·3n новых окружностей на  n-м шаге.

Замыкание построенных окружностей называется сеткой Аполлония.

СвойстваПравить

  • Сетка Аполлония имеет Хаусдорфову размерность около 1,3057[1].
  • Сетку Аполлония можно представить как объединение двух подмножеств, гомеоморфных треугольнику Серпинского, с общими вершинами.
  • Подгруппа группы преобразований Мёбиуса, состоящая из таких преобразований, которые переводят сетку Аполлония в себя, действует транзитивно на окружностях сетки.
  • Сетку Аполлония можно определить как предельное множество группы преобразований плоскости образованной инверсиями в четырёх попарно касательных окружностях.

КривизныПравить

Кривизна окружности определяется как обратное к его радиусу.

  • Отрицательная кривизна указывает на то, что все другие круги касаются эту окружность изнутри. Это ограничивающая окружность.
  • Нулевая кривизна дает линию (круг с бесконечным радиусом).
  • Положительная кривизна указывает на то, что все другие круги касаются эту окружность снаружи. Этот круг находится внутри круга с отрицательной кривизной.

В сетке Аполлония все окружности имеют положительную кривизну, кроме одной, ограничивающей окружности.

Целые сетки АполлонияПравить

Предположим,   обозначают кривизны четырёх попарно касающихся окружностей. По теореме Декарта

 

Отсюда следует, что если четыре попарно касающиеся окружности имеют целые кривизны, то и все остальные окружности в их сетке Аполлония имеют целые кривизны. Имеется бесконечно много таких целых сеток. [2] Ниже приведены несколько целых сеток с отмеченными кривизнами окружностей.

Вариации и обобщенияПравить

 
Пространственная сетка Аполлония

Трёхмерный эквивалент сетки Аполлония — Аполлониева упаковка сфер.

ПримечанияПравить

  1. Curtis T. McMullen. Hausdorff Dimension and Conformal Dynamics, III: Computation of Dimension // American Journal of Mathematics. — Vol. 120. — P. 691—721. — doi:10.1353/ajm.1998.0031.
  2. Ronald L. Graham, Jeffrey C. Lagarias, Colin M. Mallows, Alan R. Wilks, and Catherine H. Yan; "Apollonian Circle Packings: Number Theory", J. Number Theory, 100 (2003), 1–45.