Треугольник Серпинского

Треугольник Серпинского — фрактал, один из двумерных аналогов множества Кантора, математическое описание которого опубликовал польский математик Вацлав Серпинский в 1915 году[1]. Также известен как «салфетка» Серпинского.

Треугольник Серпинского

ПостроениеПравить

Итеративный методПравить

 
Построение треугольника Серпинского
 
Мозаичный пол в стиле косматеско в Кафедральном соборе Св. Марии в Ананьи

Середины сторон равностороннего треугольника   соединяются отрезками. Получаются 4 новых треугольника. Из исходного треугольника удаляется внутренность срединного треугольника. Получается множество  , состоящее из 3 оставшихся треугольников «первого ранга». Поступая точно так же с каждым из треугольников первого ранга, получим множество  , состоящее из 9 равносторонних треугольников второго ранга. Продолжая этот процесс бесконечно, получим бесконечную последовательность  , пересечение членов которой есть треугольник Серпинского.

Метод хаосаПравить

1. Задаются координаты аттракторов — вершин исходного треугольника  .
2. Вероятностное пространство   разбивается на 3 равных части, каждая из которых соответствует одному аттрактору.
3. Задаётся некоторая произвольная начальная точка  .
4. Начало цикла построения точек, принадлежащих множеству треугольника Серпинского.
1. Генерируется случайное число  .
2. Активным аттрактором становится та вершина, на вероятностное подпространство которой выпало сгенерированное число.
3. Строится точка   с новыми координатами:  , где:
  — координаты предыдущей точки  ;   — координаты активной точки-аттрактора.
5. Возврат к началу цикла.

СвойстваПравить

  • Треугольник Серпинского состоит из 3 одинаковых частей, коэффициент подобия 1/2.
  • Треугольник Серпинского замкнут.
  • Треугольник Серпинского имеет топологическую размерность 1.
  • Важным свойством треугольника Серпинского является его самоподобие — ведь он состоит из трёх своих копий, уменьшенных в два раза (это части треугольника Серпинского, содержащиеся в маленьких треугольниках, примыкающих к углам).
  • Треугольник Серпинского имеет промежуточную (то есть нецелую) Хаусдорфову размерность  . В частности,

ФактыПравить

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. W. Sierpinski, Sur une courbe dont tout point est un point de ramification.//Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. - Paris. – Tome 160, Janvier - Juin 1915. - Pp. 302 – 305. - [1]
  2. What is the Game of Life?
  3. Слюсар В. И. Фрактальные антенны. // Радиоаматор. — 2002. — № 9. — С. 54 −56., Конструктор. — 2002. — № 8. — С. 6 — 8. [2]
  4. Вишневский В. М., Ляхов А. И., Портной С. Л., Шахнович И. В. Широкополосные беспроводные сети передачи информации. — М.: Техносфера. — 2005.- C. 498—569
  5. 1 2 The grammar of ornament. Day and Son, London. — 1856. [3]
  6. Conversano Elisa, Tedeschini Lalli Laura. Sierpinsky triangles in stone, on medieval floors in Rome.// Aplimat — Journal of Applied Mathematics. Volume 4 (2011), Number 4. — P. 113—122. — [4]
  7. Paola Brunori, Paola Magrone, and Laura Tedeschini Lalli. Imperial Porphiry and Golden Leaf: Sierpinski Triangle in a Medieval Roman Cloister.//ICGG 2018 — Proceedings of the 18th International Conference on Geometry and Graphics. — Pp. 595—609. -[5]

ЛитератураПравить

СсылкиПравить