Треугольник Паскаля (арифметический треугольник) — бесконечная таблица биномиальных коэффициентов, имеющая треугольную форму. В этом треугольнике на вершине и по бокам стоят единицы. Каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. Строки треугольника симметричны относительно вертикальной оси. В большей части западного мира она названа в честь французского математика Блеза Паскаля, хотя за многие столетия до него её изучали и другие математики в исламском мире[1], Индии[2], Китае, Германии и Италии[3]. Числа, составляющие треугольник Паскаля, возникают естественным образом в алгебре, комбинаторике, теории вероятностей, математическом анализе, теории чисел[4].
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/49/%D0%A2%D1%80%D0%B5%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%BA_%D0%9F%D0%B0%D1%81%D0%BA%D0%B0%D0%BB%D1%8F.svg/300px-%D0%A2%D1%80%D0%B5%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%BA_%D0%9F%D0%B0%D1%81%D0%BA%D0%B0%D0%BB%D1%8F.svg.png)
История
правитьСхема чисел, образующих треугольник Паскаля, была известна задолго до времен Паскаля. Персидский математик Аль-Караджи (953–1029) написал ныне утерянную книгу, содержащую первую формулировку биномиальных коэффициентов и первое в истории описание треугольника Паскаля[5][6][7]. Позднее треугольник также исследовался Омаром Хайямом около 1100 года, поэтому в Иране эту схему называют треугольником Хайяма (مثلث خیام). Упоминание треугольной последовательности биномиальных коэффициентов под названием meru-prastaara встречается также в комментарии индийского математика X века Халаюдхи[англ.] к трудам другого математика, Пингалы.[источник?] В 1303 году была выпущена книга «Яшмовое зеркало четырёх элементов» китайского математика Чжу Шицзе, в которой был изображен треугольник Паскаля на одной из иллюстраций; считается, что изобрёл его другой китайский математик, Ян Хуэй, поэтому в Китае его называют треугольником Яна Хуэя (杨辉三角; 楊輝三角).
В Италии треугольник Паскаля иногда называют треугольником Тартальи, поскольку Никколо Тарталья описал эту таблицу на сто лет раньше Паскаля. На титульном листе учебника арифметики, написанного в 1529 году Петером Апианом, астрономом из Ингольштадтского университета (нем.), также изображён треугольник Паскаля. А в 1665 году[8] вышла книга Блеза Паскаля «Трактат об арифметическом треугольнике»[9], которая была специально посвящена данной таблице и по содержательности опережала своих европейских предшественников. Позднее треугольник был назван в честь Паскаля Пьером Раймоном де Монмором (1708), который назвал его table de M. Pascal pour les combinaisons (с французского: Таблица сочетаний господина Паскаля), и Абрахамом де Муавром (1730), который назвал его Triangulum Arithmeticum PASCALIANUM (с латинского: Арифметический треугольник Паскаля), что стало основой современного западного названия[10].
Обозначения и свойства
правитьБиномиальные коэффициенты часто обозначаются или и читаются как «число сочетаний из n элементов по k»[4].
- Числа треугольника симметричны (равны) относительно вертикальной оси.
- В строке с номером n (нумерация начинается с 0):
- первое и последнее числа равны 1;
- второе и предпоследнее числа равны n;
- третье число равно треугольному числу , что также равно сумме номеров предшествующих строк;
- четвёртое число является тетраэдрическим;
- m-е число (при нумерации с 0) равно биномиальному коэффициенту .
- Сумма чисел восходящей диагонали, начинающейся с первого элемента (n − 1)-й строки, есть n-е число Фибоначчи:
- Если вычесть из центрального числа в строке с чётным номером соседнее число из той же строки, то получится число Каталана.
- Сумма чисел n-й строки треугольника Паскаля равна .
- Все числа в n-й строке, кроме единиц, делятся на число n тогда и только тогда, когда n является простым числом[11] (следствие теоремы Люка).
- Если в строке с нечётным номером сложить все числа с порядковыми номерами вида 3n, 3n + 1, 3n + 2, то первые две суммы будут равны, а третья на 1 меньше.
- Каждое число в треугольнике равно количеству способов добраться до него из вершины, перемещаясь либо вправо-вниз, либо влево-вниз.
Цитаты
правитьТреугольник Паскаля так прост, что выписать его сможет даже десятилетний ребенок. В то же время он таит в себе неисчерпаемые сокровища и связывает воедино различные аспекты математики, не имеющие на первый взгляд между собой ничего общего. Столь необычные свойства позволяют считать треугольник Паскаля одной из наиболее изящных схем во всей математике.Мартин Гарднер[12]
См. также
правитьПримечания
править- ↑ J. L. Coolidge. The Story of the Binomial Theorem // The American Mathematical Monthly. — 1949-03. — Т. 56, вып. 3. — С. 147. — doi:10.2307/2305028.
- ↑ Helen M. Johnson, Maurice Winternitz, S. Ketkar, H. Kohn. A History of Indian Literature. Vol. II. Buddhist Literature and Jain Literature // Journal of the American Oriental Society. — 1936-09. — Т. 56, вып. 3. — С. 371. — ISSN 0003-0279. — doi:10.2307/593985.
- ↑ Cambridge University Library: the great collections / Peter Fox. — Cambridge, UK ; New York: Cambridge University Press, 1998. — 231 с. — ISBN 978-0-521-62636-1, 978-0-521-62647-7.
- ↑ 1 2 Энциклопедический словарь юного математика, 1985.
- ↑ Selin, Helaine. Encyclopaedia of the History of Science, Technology, and Medicine in Non-Western Cultures : [англ.]. — Springer Science & Business Media, 2008-03-12. — P. 132. — ISBN 9781402045592.
- ↑ The Development of Arabic Mathematics Between Arithmetic and Algebra - R. Rashed "Page 63"
- ↑ Sidoli, Nathan. From Alexandria, Through Baghdad: Surveys and Studies in the Ancient Greek and Medieval Islamic Mathematical Sciences in Honor of J.L. Berggren : [англ.] / Nathan Sidoli, Glen Van Brummelen. — Springer Science & Business Media, 2013-10-30. — P. 54. — ISBN 9783642367366.
- ↑ О. В. Кузьмин. Треугольник и пирамида Паскаля: свойства и обобщения // Соросовский Образовательный Журнал. — 2000. — Т. 6, № 5. — С. 101—109. Архивировано 29 октября 2013 года.
- ↑ Удивительный треугольник великого француза // Hard'n'Soft. — 2003. — № 10. Архивировано 21 апреля 2010 года.
- ↑ Fowler, David (January 1996). "The Binomial Coefficient Function". The American Mathematical Monthly. 103 (1): 1—17. doi:10.2307/2975209. JSTOR 2975209. See in particular p. 11.
- ↑ Weisstein, Eric W. Pascal's Triangle (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- ↑ Мартин Гарднер. Глава 17. Неисчерпаемое очарование треугольника Паскаля // Математические новеллы. — М.: Мир, 1974. — 456 с.
Литература
править- Паскаля треугольник // Энциклопедический словарь юного математика / Сост. А. П. Савин. — М.: Педагогика, 1985. — С. 230-232. — 352 с.
- Фукс Д., Фукс М. Арифметика биномиальных коэффициентов // Квант. — 1970. — № 6. — С. 17—25.
- Успенский В. А. Треугольник Паскаля. — М.: Наука, 1979. — 48 с. — (Популярные лекции по математике). — 200 000 экз.
Ссылки
править- Weisstein, Eric W. Pascal's Triangle (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- Построение треугольника Паскаля