Вложенные радикалы
Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 11 декабря 2021 года; проверки требует 1 правка.
В алгебре вложенным радикалом называется радикал, содержащийся в другом радикале. Например
или более сложный пример
Значения всех вложенных радикалов называются выразимыми в радикалах.
Упрощение вложенных радикалов править
Некоторые вложенные радикалы могут быть упрощены. Например:
В общем случае упрощение является сложной проблемой, если оно вообще возможно. Следующая формула позволяет произвести упрощение в случае, когда рационально:
Например,
В частности, для комплексных чисел ( ):
- где
Бесконечно вложенные радикалы править
Общие положения править
В некоторых случаях бесконечно вложенные радикалы могут быть тождественны некоторому рациональному числу, например выражение
равно 2. Для того чтобы это увидеть, возведем обе части выражения в квадрат и отнимем 2:
- ;
- ;
- .
Очевидно, что не может являться значением исходного радикала.
Тривиальные случаи править
- Для квадратного корня:
- ;
- Для корня степени
- где является решением уравнения .
Нетривиальные случаи править
- Формула Рамануджана:
Частные случаи править
Ссылки править
- Weisstein, Eric W. Вложенные радикалы (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- Weisstein, Eric W. Квадратный корень (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- Decreasing the Nesting Depth of Expressions Involving Square Roots (англ.)
- Simplifying Square Roots of Square Roots (англ.)
Для улучшения этой статьи желательно:
|