Главный идеал

Главный идеал — идеал, порождённый одним элементом.

Общепринятых обозначений для главных идеалов нет. Иногда используют обозначения $\mathrm {lid} _{R}a$, $\mathrm {rid} _{R}a$, $\mathrm {id} _{R}a$ для левых, правых и двусторонних главных идеалов элемента $a$ кольца $R$ соответственно.

Определение

Левый идеал кольца $R$ называется главным левым идеалом, если он порождён одним элементом $a$. Аналогично определяются главные правые идеалы и главные двусторонние идеалы.

Если $R$ — коммутативное кольцо, то эти три понятия эквивалентны. В этом случае идеал, порождённый $a$, обозначают через $(a)$.

В случае ассоциативного кольца с единицей главные идеалы описываются следующим образом.

• $\mathrm {l\,id} _{R}a=Ra=\{ra:r\in R\}$.
• $\mathrm {r\,id} _{R}a=aR=\{ar:r\in R\}$.
• $\mathrm {id} _{R}a=RaR=\{r_{1}ar'_{1}+r_{2}ar'_{2}+\dots +r_{n}ar'_{n}:r_{1},r'_{1},\dots ,r_{n},r'_{n}\in R\}$.

Если же $R$ — ассоциативное кольцо (вообще говоря без единицы), то

• $\mathrm {l\,id} _{R}a=Ra+\mathbb {Z} a=\{ra+ma:r\in R,m\in \mathbb {Z} \}$.
• $\mathrm {r\,id} _{R}a=aR+\mathbb {Z} a=\{ar+ma:r\in R,m\in \mathbb {Z} \}$.
• $\mathrm {id} _{R}a=RaR+aR+Ra+\mathbb {Z} a=\{r_{1}ar'_{1}+r_{2}ar'_{2}+\dots +r_{n}ar'_{n}+ar'+r''a+ma:r',r'',r_{1},r'_{1},\dots ,r_{n},r'_{n}\in R,m\in \mathbb {Z} \}$.

Не все идеалы — главные. Рассмотрим, например, коммутативное кольцо $\mathbb {C} [x,y]$ многочленов с комплексными коэффициентами от двух переменных $x$ и $y$. Идеал $(x,y)$, порождённый многочленами $x$ и $y$, (то есть идеал, состоящий из многочленов, у которых свободный член равен нулю) не будет главным. Чтобы доказать это, допустим, что этот идеал порождается некоторым элементом $a\in \mathbb {C} [x,y]$; тогда на него должны делиться $x$ и $y$. Это возможно, только если $a$ — ненулевая константа. Но в $(x,y)$только одна константа — нуль. Приходим к противоречию.

Связанные определения

• Кольцо, все идеалы которого — главные, называется кольцом главных идеалов.
• Целостное кольцо главных идеалов называется также областью главных идеалов. В областях главных идеалов выполняется основная теорема арифметики (любой элемент однозначно разложим на простые множители); доказательство этого факта совпадает с доказательством для случая целых чисел.

Примеры

Все евклидовы кольца являются областями главных идеалов; в них для поиска порождающего элемента данного идеала можно использовать алгоритм Евклида. Вообще, у любых двух главных идеалов коммутативного кольца есть наибольший общий делитель в смысле умножения идеалов; благодаря этому в областях главных идеалов можно вычислять (с точностью до умножения на обратимый элемент) НОД элементов $a$ и $b$ как порождающий элемент идеала $(a,b)$.

Литература

• Винберг Э.Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7.