Индуцированное расслоение

Индуцированное расслоение — расслоение $f^{*}(\pi )\colon E'\to B'$, индуцированное отображением $f\colon B'\to B$ и расслоением $\pi \colon E\to B$, где $E'$ — подпространство прямого произведения $B'\times E$, состоящее из пар $(b',e)$, для которых $f(b')=\pi (e)$, и $f^{*}(\pi )\colon (b',e)\mapsto b'$.

При этом следующая коммутативная диаграмма образует декартов квадрат:

Свойства

• Отображение $F\colon E'\to E$ индуцированного расслоения в исходное расслоение, определённое формулой $F(b',e)=e$, является морфизмом расслоений, накрывающим $f$.
  • Для каждой точки $b'\in B'$ ограничения на слой является гомеоморфизмами.
• Для любого расслоения $\eta \colon X\to B'$ и морфизма $H:\eta \to \pi$, накрывающего $f$, существует один и только один морфизм $K:\eta \to f^{*}(\pi )$, удовлетворяющий соотношениям

  $FK=H$

  $f*(\pi )K=\eta$.

• Расслоения, индуцированные изоморфными расслоениями, изоморфны, расслоение, индуцированное постоянным отображением, изоморфно тривиальному.
• Для любого сечения $s$ расслоения $\pi$ отображение $\sigma \colon B'\to E'$, определённое формулой $\sigma (b')=(b',sf(b'))$, является сечением индуцированного расслоения $f^{*}(\pi )$ и удовлетворяет соотношению $F\sigma =sf$.

Литература

Хатчер А. Алгебраическая топология. — М.: МЦНМО, 2011. — 688 с. — ISBN 978-5-94057-748-5.