Разбиение единицы

Разбиение единицы — конструкция, используемая в топологии для удобства работы с многообразием как с множеством карт.

С помощью разбиения единицы определяется, в частности, интеграл от дифференциальной формы на многообразии.

Конструкция

Пусть дано открытое покрытие топологического пространства $M$ открытыми множествами $D_{\alpha }$. Разбиением единицы, подчиненным покрытию $\{D_{\alpha }\}$, называется набор неотрицательных непрерывных вещественных функций $f_{\beta }$ на $M$, обладающих следующими свойствами:

• $0\leqslant f_{\beta }\leqslant 1.$
• Носитель каждой из функций $f_{\beta }$ целиком содержится в одном из множеств $D_{\alpha }$.
• Для любой точки $x\in M$ имеем $\sum _{\beta }{f_{\beta }(x)=1}$ (то есть при любом $x\in M$ для не более, чем счётного множества функций $f_{\beta }(x)$ отлично от нуля и ряд $\sum _{i=1}^{\infty }{f_{\beta _{i}}(x)}$, где $\{\beta _{1},\beta _{2},...\}=\{\beta :f_{\beta }(x)\neq 0\}$ сходится к 1. Этот ряд абсолютно сходится, поэтому сумма ряда не зависит от порядка членов).

Если для любой точки $x\in M$ существует окрестность $W\ni x$, такая что пересечение $W\cap \mathrm {supp} \,f_{\beta }$ непусто не более чем для конечного числа индексов $\beta$, то такое разбиение единицы называется локально конечным.

Свойства

• Для всякого открытого покрытия паракомпактного T₁-пространства существует подчинённое ему локально конечное разбиение единицы. Обратно, если для всякого открытого покрытия $T_{1}$-пространства существует подчинённое ему разбиение единицы, то это пространство паракомпактно.
• Для всякого открытого покрытия $C^{\infty }$-многообразия, существует подчинённое покрытию конечное или счётное локально конечное разбиение единицы, состоящее из функций класса $C^{\infty }$.

Литература

Энгелькинг Р. Общая топология / перевод М.Я.Антоновского и А.В.Архангельского. — М.: Мир, 1986. — 752 с.

Ж. де Рам. Дифференцируемые многообразия / перевод Д.А.Василькова. — М.: иностранной литературы, 1956. — 250 с.