Сверхсоставное число

Сверхсоставное число — натуральное число с бо́льшим числом делителей, чем любое меньшее натуральное число.

Первые четыре сверхсоставных числа: 1, 2, 4, 6 и их разложения на делители

История

Термин был предложен Рамануджаном в 1915 году. Однако, по мнению математика Жан-Пьера Кахане, они были известны уже Платону, который описал число 5040 как идеальное количество граждан города, так как 5040 имеет больше делителей, чем любое меньшее число.

Примеры

В таблице представлены первые 38 сверхсоставных числа (последовательность A002182 в OEIS).

номер	Сверхсоставное	разложение на простые	число делителей	разложение на праймориалы
1	1		1
2	2	$2$	2	$2$
3	4	$2^{2}$	3	$2^{2}$
4	6	$2\cdot 3$	4	$6$
5	12	$2^{2}\cdot 3$	6	$2\cdot 6$
6	24	$2^{3}\cdot 3$	8	$2^{2}\cdot 6$
7	36	$2^{2}\cdot 3^{2}$	9	$6^{2}$
8	48	$2^{4}\cdot 3$	10	$2^{3}\cdot 6$
9	60	$2^{2}\cdot 3\cdot 5$	12	$2\cdot 30$
10	120	$2^{3}\cdot 3\cdot 5$	16	$2^{2}\cdot 30$
11	180	$2^{2}\cdot 3^{2}\cdot 5$	18	$6\cdot 30$
12	240	$2^{4}\cdot 3\cdot 5$	20	$2^{3}\cdot 30$
13	360	$2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 5$	24	$2\cdot 6\cdot 30$
14	720	$2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5$	30	$2^{2}\cdot 6\cdot 30$
15	840	$2^{3}\cdot 3\cdot 5\cdot 7$	32	$2^{2}\cdot 210$
16	1260	$2^{2}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7$	36	$6\cdot 210$
17	1680	$2^{4}\cdot 3\cdot 5\cdot 7$	40	$2^{3}\cdot 210$
18	2520	$2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7$	48	$2\cdot 6\cdot 210$
19	5040	$2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7$	60	$2^{2}\cdot 6\cdot 210$
20	7560	$2^{3}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 7$	64	$6^{2}\cdot 210$
21	10080	$2^{5}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7$	72	$2^{3}\cdot 6\cdot 210$
22	15120	$2^{4}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 7$	80	$2\cdot 6^{2}\cdot 210$
23	20160	$2^{6}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7$	84	$2^{4}\cdot 6\cdot 210$
24	25200	$2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5^{2}\cdot 7$	90	$2^{2}\cdot 30\cdot 210$
25	27720	$2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7\cdot 11$	96	$2\cdot 6\cdot 2310$
26	45360	$2^{4}\cdot 3^{4}\cdot 5\cdot 7$	100	$6^{3}\cdot 210$
27	50400	$2^{5}\cdot 3^{2}\cdot 5^{2}\cdot 7$	108	$2^{3}\cdot 30\cdot 210$
28	55440	$2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7\cdot 11$	120	$2^{2}\cdot 6\cdot 2310$
29	83160	$2^{3}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 7\cdot 11$	128	$6^{2}\cdot 2310$
30	110880	$2^{5}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7\cdot 11$	144	$2^{3}\cdot 6\cdot 2310$
31	166320	$2^{4}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 7\cdot 11$	160	$2\cdot 6^{2}\cdot 2310$
32	221760	$2^{6}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7\cdot 11$	168	$2^{4}\cdot 6\cdot 2310$
33	277200	$2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5^{2}\cdot 7\cdot 11$	180	$2^{2}\cdot 30\cdot 2310$
34	332640	$2^{5}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 7\cdot 11$	192	$2^{2}\cdot 6^{2}\cdot 2310$
35	498960	$2^{4}\cdot 3^{4}\cdot 5\cdot 7\cdot 11$	200	$6^{3}\cdot 2310$
36	554400	$2^{5}\cdot 3^{2}\cdot 5^{2}\cdot 7\cdot 11$	216	$2^{3}\cdot 30\cdot 2310$
37	665280	$2^{6}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 7\cdot 11$	224	$2^{3}\cdot 6^{2}\cdot 2310$
38	720720	$2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13$	240	$2^{2}\cdot 6\cdot 30030$

Разложение на простые

В разложении сверхсоставных чисел участвуют самые маленькие простые множители, и при этом не слишком много одних и тех же.

По основной теореме арифметики каждое натуральное число $n$ имеет единственное разложение на простые:

$n=p_{1}^{c_{1}}\times p_{2}^{c_{2}}\times \cdots \times p_{k}^{c_{k}}\qquad (1)$

где $p_{1}<p_{2}<\cdots <p_{k}$ простые, и степени $c_{i}$ положительные целые числа. Число делителей $d(n)$ числа $n$ можно выразить следующим образом:

$d(n)=(c_{1}+1)\times (c_{2}+1)\times \cdots \times (c_{k}+1).\qquad (2)$

Таким образом, для сверхсоставного числа $n$ выполняется следующее

• Числа $p_{1},p_{2},\dots ,p_{k}$ являются первыми $k$ простыми числами.
• Последовательность степеней должна быть невозрастающей, то есть $c_{1}\geq c_{2}\geq \cdots \geq c_{k}$.
  • Это свойство равносильно тому, что сверхсоставное число является произведением праймориалов.
• За исключением двух особых случаев n = 4 И N = 36, последняя степень $c_{k}$ равна единице.

В частности 1, 4 и 36 являются единственными сверхсоставными квадратами.

Хотя описанные выше условия являются необходимыми, они не являются достаточными. Например, 96 = 2⁵ × 3 удовлетворяет всем вышеперечисленным условиям и имеет 12 делителей, но не является сверхсоставным, поскольку существует меньшее число 60, которое имеет то же число делителей.

Асимптотический рост и плотность

Существуют постоянные a и b, обе больше чем 1, такие, что

$\ln(x)^{a}\leq Q(x)\leq \ln(x)^{b},$

Где $Q(x)$ обозначает число сверхсоставных чисел меньше либо равных $x$.

Первая часть неравенства была доказана Палом Эрдёшем в 1944 году; вторую доказал Жан-Луи Николас в 1988 году.

Известно также, что

$1{,}13862<\liminf {\frac {\log Q(x)}{\log \log x}}\leq 1{,}44$

и

$\limsup {\frac {\log Q(x)}{\log \log x}}\leq 1{,}71.$

Свойства

• Все сверхсоставные числа, большие 6, являются избыточными.

• Не все сверхсоставные числа являются числами харшад по основанию 10;
  • первый контрпример это 245 044 800, это число имеет сумму цифр 27, но на 27 не делится.

См. также

• Высокототиентное число
• Таблица делителей
• Функция Эйлера

Литература

• Ramanujan, S. Highly composite numbers (неопр.) // Proc. London Math. Soc. (2). — 1915. — Т. 14. — С. 347—409. — doi:10.1112/plms/s2_14.1.347. (online Архивная копия от 3 сентября 2014 на Wayback Machine)
• Handbook of number theory I (неопр.). — Dordrecht: Springer-Verlag, 2006. — С. 45—46. — ISBN 1-4020-4215-9.
• Erdös, P. On highly composite numbers (неопр.) // Лондонское математическое общество. — 1944. — Т. 19. — С. 130—133. — doi:10.1112/jlms/19.75_part_3.130.
• Alaoglu, L. On highly composite and similar numbers (англ.) // Transactions of the American Mathematical Society. — 1944. — Vol. 56, no. 3. — P. 448—469. — doi:10.2307/1990319.
• Ramanujan, Srinivasa. Highly composite numbers (англ.) // Ramanujan Journal : journal. — 1997. — Vol. 1, no. 2. — P. 119—153. — doi:10.1023/A:1009764017495. Annotated and with a foreword by Jean-Louis Nicolas and Guy Robin.
• О. Оре. Приглашение в теорию чисел. — М.: Наука, 1980. — 128 с. — (выпуск 3 серии «Библиотечка квант»). — 150 000 экз.

Ссылки

• Алгоритм вычисления высшей степени составных чисел
• Первые 10000 высшей степени составных чисел в качестве факторов
• Flammenkamp ахим, первый 779674 ГКН с Сигма,Тау, факторы
• Онлайн Сильно Составные Числа Калькулятор