Сохраняющийся ток

Сохраняющийся ток — понятие, используемое в математическом аппарате физики, для описания процессов переноса сохраняющейся физической величины, например электрического заряда. В математических векторных обозначениях он обозначается как величина $j^{\mu }$, которая удовлетворяет уравнению непрерывности $\partial _{\mu }j^{\mu }=0$. Уравнение непрерывности представляет собой закон сохранения, откуда и произошло название для сохраняющегося тока.

Сохраняющийся ток
Определяющая формула	${\partial \over \partial t}Q=0\;$

Действительно, интегрирование уравнения непрерывности по объему $V$ c поверхностью, через которую не текут токи, приводит к закону сохранения

$${\frac {\partial }{\partial t}}Q=0,$$

где ${\textstyle Q=\int _{V}j^{0}dV}$ — сохраняющаяся величина.

В калибровочных теориях калибровочные поля рассматриваются совместно с сохраняющимися токами. Например, электромагнитное поле рассматривается совместно с сохраняющимся электрическим током.

Сохраняемые величины и симметрии

Сохраняющийся ток — это поток канонически сопряженной величины, обладающей непрерывной трансляционной симметрией. Уравнение непрерывности для сохраняющегося тока является математической формулировкой закона сохранения. Примерами канонически сопряженных величин являются:

• время и энергия: непрерывная трансляционная симметрия (однородность) времени подразумевает сохранение энергии;
• пространство и импульс: непрерывная трансляционная симметрия (однородность) пространства подразумевает сохранение импульса;
• пространство и угловой момент: непрерывная "вращательная" симметрия (однородность относительно вращений) пространства подразумевает сохранение углового момента.

Сохраняющиеся токи играют чрезвычайно важную роль в теоретической физике, так как, согласно теореме Нётер, существование сохраняющегося тока связано с существованием симметрии некоторой величины в исследуемой системе. С практической точки зрения все сохраняющиеся токи являются нётеровыми токами, поскольку существование сохраняющегося тока подразумевает существование симметрии. Сохраняющиеся токи играют важную роль в теории дифференциальных уравнений в частных производных, поскольку существование сохраняющегося тока указывает на существование интегралов движения, которые необходимы для интегрируемости системы. Закон сохранения выражается как обращение в нуль 4-дивергенции, где нётеров заряд образует нулевую составляющую 4-тока.

Сохраняющиеся токи в электромагнетизме

Сохранение заряда, например, в обозначениях уравнений Максвелла:

$${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {j} =0,$$

где $\rho$ — плотность электрического заряда, $\mathbf {j} =\rho \mathbf {v}$ — плотность тока ($\mathbf {v}$ — скорость зарядов).

См. также

• Законы сохранения
• Теорема Нётер