Серединный перпендикуляр

(перенаправлено с «Срединный перпендикуляр»)

Серединный перпендикуляр (также срединный перпендикуляр и устаревший термин медиатриса[источник не указан 2138 дней]) — прямая, перпендикулярная данному отрезку и проходящая через его середину.

Построение середины отрезка AB является одновременно построением серединного перпендикулярa

Свойства править

  • Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника (или другого многоугольника, для которого существует описанная окружность) пересекаются в одной точке — центре описанной окружности. У остроугольного треугольника эта точка лежит внутри, у тупоугольного — вне треугольника, у прямоугольного — на середине гипотенузы.
  • Любая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка.
    • Верно и обратное утверждение: каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.
  • В равнобедренном треугольнике высота, биссектриса и медиана, проведенные из вершины угла с равными сторонами, совпадают и являются серединным перпендикуляром, проведённым к основанию треугольника, а два других серединных перпендикуляра равны между собой.
  • Отрезки серединных перпендикуляров к сторонам треугольника, заключённые внутри него, можно найти по следующим формулам[1]:
 
где нижний индекс обозначает сторону, к которой проведён перпендикуляр,   — площадь треугольника, а также предполагается, что стороны связаны неравенствами  
  • Если стороны треугольника удовлетворяют неравенствам  , тогда справедливы неравенства[1]:
  и   Иными словами, наименьшим является серединный перпендикуляр, проведенный к стороне с промежуточной длиной.

Вариации и обобщения править

  • Окружность Аполлония — геометрическое место точек плоскости, отношение расстояний от которых до двух заданных точек — величина постоянная.

Примечания править

  1. 1 2 Mitchell, Douglas W. Perpendicular Bisectors of Triangle Sides // Forum Geometricorum. — 2013. — Vol. 13. — P. 53-59, Theorems 2, 4. Архивировано 24 апреля 2021 года.

Литература править