Среднее арифметико-геометрическое

Среднее арифметико-геометрическое (арифметико-геометрическое среднее, АГС) — величина, определяющаяся для двух величин $a$ и $b$ как предел взаимозависимых последовательностей $\{a_{N}\}$, $\{b_{N}\}$, где:

$a_{0}=a\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad b_{0}=b$

$a_{1}={\frac {a_{0}+b_{0}}{2}}\quad \quad \quad \quad b_{1}={\sqrt {a_{0}b_{0}}}$

$a_{2}={\frac {a_{1}+b_{1}}{2}}\quad \quad \quad \quad b_{2}={\sqrt {a_{1}b_{1}}}$

…

$a_{N}={\frac {a_{N-1}+b_{N-1}}{2}}\quad \quad b_{N}={\sqrt {a_{N-1}b_{N-1}}}$

имеют при $N\to \infty$ один и тот же предел:

$\lim _{N\to \infty }a_{N}=\lim _{N\to \infty }b_{N}=M(a,b)$.

АГС может быть применено для быстрого вычисления точного периода математического маятника.

Часто используется сокращение $M(x)=M(x,1)$. В частности $M(x,y)=yM(x/y,1)=yM(x/y)$.

Модифицированное арифметико-геометрическое среднее (МАГС) двух величин $x$ и $y$ — (общий) предел (убывающей) последовательности $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ и (возрастающей) последовательности $\{y_{n}\}_{n=1}^{\infty }$, где $x_{0}=x$, $y_{0}=y$ и $z_{0}=0$.

$x_{n+1}={\frac {x_{n}+y_{n}}{2}}$

$y_{n+1}=z_{n}+{\sqrt {(x_{n}-z_{n})(y_{n}-z_{n})}}$

$z_{n+1}=z_{n}-{\sqrt {(x_{n}-z_{n})(y_{n}-z_{n})}}$

МАГС может быть применено для быстрого вычисления длины нити в линейном параллельном поле сил отталкивания.

МАГС выразимо посредством АГС^[как?], такое опосредованное вычисление МАГС предпочтительно при вычислении длины периметра эллипса $L$ с полуосями $a$ и $b$:

$L={\frac {2\pi N(a^{2};b^{2})}{M(a;b)}},$

где $M(x;y)$ — АГС чисел $x$ и $y$, а $N(x;y)$ — МАГС чисел $x$ и $y$. Тем самым, такая формула выражает метод Гаусса, с квадратичной сходимостью, для вычисления полного эллиптического интеграла второго рода.

Приложения

С использованием АГС и МАГС можно вычислять значения некоторых трансцендентных функций и числа $\pi$. Например, по формуле Гаусса — Саламина:

$\pi ={\frac {2M\left(1;{\sqrt {2}}\right)^{2}}{1-\sum _{j=1}^{\infty }2^{j}c_{j}^{2}}},$

где $c_{j}={\frac {1}{2}}\left(a_{j-1}-b_{j-1}\right)$, $a_{0}=1$, $b_{0}={\sqrt {2}}$.

В то же время, если взять:

$a_{0}=1,\quad \quad \quad b_{0}=\cos \alpha$,

то

$\lim _{N\to \infty }a_{N}={\frac {\pi }{2K(\sin \alpha )}}$,

где $K(\alpha )$ есть полный эллиптический интеграл

$K(\alpha )=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}(1-\alpha ^{2}\sin ^{2}\theta )^{-{\frac {1}{2}}}d\theta$.

То есть $\pi$ выражается формулой:

$\pi ={\frac {M({\sqrt {2}})^{2}}{N(2)-1}}$,

где $M(x)$ — АГС 1 и $x$, а $N(x)$ — МАГС 1 и $x$.

Пользуясь этим свойством, а также преобразованиями Ландена, Брент предложил первые АГС-алгоритмы для быстрого вычисления простейших трансцендентных функций ($e^{x},\cos x,\sin x$). В дальнейшем исследование и использование АГС-алгоритмов было продолжено многими авторами.