Математический маятник

Математи́ческий ма́ятник — осциллятор, представляющий собой механическую систему, состоящую из материальной точки на конце невесомой нерастяжимой нити или лёгкого стержня и находящуюся в однородном поле сил тяготения. Другой конец нити (стержня) обычно неподвижен. Период малых собственных колебаний маятника длины L, подвешенного в поле тяжести, равен

Математический маятник. Чёрный пунктир — положение равновесия, $\theta$ — угол отклонения от вертикали в некоторый момент

$T_{0}=2\pi {\sqrt {L \over g}}$

и не зависит, в первом приближении, от амплитуды колебаний и массы маятника. Здесь g — ускорение свободного падения.

Математический маятник служит простейшей моделью физического тела, совершающего колебания: она не учитывает распределение массы. Однако реальный физический маятник при малых амплитудах колеблется так же, как математический с приведённой длиной.

Характер движения маятника

Математический маятник со стержнем способен колебаться только в какой-то одной плоскости (вдоль какого-то выделенного горизонтального направления) и, следовательно, является системой с одной степенью свободы. Если же стержень заменить на нерастяжимую нить, получится система с двумя степенями свободы (так как становятся возможными колебания по двум горизонтальным координатам).

При колебаниях в одной плоскости маятник движется по дуге окружности радиуса $L$, а при наличии двух степеней свободы может описывать кривые на сфере того же радиуса. Нередко, в том числе в случае нити, ограничиваются анализом плоского движения; оно и рассматривается далее.

Уравнение колебаний маятника

Маятник (схема с обозначениями)

Если в записи второго закона Ньютона $m{\vec {a}}={\vec {F}}$ для математического маятника выделить тангенциальную составляющую ($ma_{\tau }=F_{\tau }$), получится выражение

$mL{\ddot {\theta }}=-mg\sin \theta$,

так как $a_{\tau }={\dot {v}}=d/dt(Ld\theta /dt)$, а из действующих на точку сил тяжести и натяжения ненулевую компоненту $F_{\tau }$ даёт только первая. Следовательно, колебания маятника описываются обыкновенным дифференциальным уравнением (ДУ) вида

${\ddot {\theta }}+{\frac {g}{L}}\sin \theta =0$,

где неизвестная функция $\theta (t)$ ― это угол отклонения маятника в момент $t$ от нижнего положения равновесия, выраженный в радианах, $L$ ― длина подвеса, $g$ ― ускорение свободного падения. Предполагается, что потерь энергии в системе нет. В области малых углов $\sin \theta \approx \theta$ это уравнение превращается в

${\ddot {\theta }}+{\frac {g}{L}}\theta =0$.

Для решения ДУ второго порядка, то есть для определения закона движения маятника, необходимо задать два начальных условия — угол $\theta$ и его производную ${\dot {\theta }}$ при $t=0$.

Решения уравнения движения

Возможные типы решений

В общем случае решение ДУ с начальными условиями для маятника может быть получено численно. Варианты движения (в случае, если маятник — это материальная точка на лёгком стержне), качественно, представлены на анимации. В каждом окне вверху показана зависимость угловой скорости ${\dot {\theta }}$ от угла $\theta$. По мере нарастания размаха поведение маятника всё сильнее отклоняется от режима гармонических колебаний.

• 
  Маятник висит
• 
  Малые колебания (размах 45°)
• 
  Колебания с размахом 90°
• 
  Колебания с размахом 135°
• 
  Колебания с размахом 170°
• 
  Фиксация в верхнем положении
• 
  Движение близкое к сепаратрисе
• 
  Вращение маятника

Гармонические колебания

Уравнение малых колебаний маятника около нижнего положения равновесия, когда уместна замена $\sin \theta \approx \theta$, называется гармоническим уравнением:

${\ddot {\theta }}+\omega _{0}^{2}\theta =0$,

где $\omega _{0}={\sqrt {g/L}}$ ― положительная константа, определяемая только из параметров маятника и имеющая смысл собственной частоты колебаний. Кроме того, может быть осуществлён переход к переменной «горизонтальная координата» $x=L\sin \theta \approx L\theta$ (ось $x$ лежит в плоскости качания и ортогональна нити в нижней точке):

${\ddot {x}}+\omega _{0}^{2}x=0$.

Малые колебания маятника являются гармоническими. Это означает, что смещение маятника от положения равновесия изменяется во времени по синусоидальному закону:

$x=A\sin(\omega _{0}t+\alpha )$,

где $A$ — амплитуда колебаний маятника, $\alpha$ — начальная фаза колебаний.

Если пользоваться переменной $x$, то при $t=0$ необходимо задать координату $x_{0}$ и скорость $v_{x0}$, что позволит найти две независимые константы $A$, $\alpha$ из соотношений $x_{0}=A\sin \alpha$ и $v_{x0}=A\omega _{0}\cos \alpha$.

Случай нелинейных колебаний

Для маятника, совершающего колебания с большой амплитудой, закон движения более сложен:

$\sin {\frac {\theta }{2}}=\varkappa \cdot \operatorname {sn} (\omega _{0}t;\varkappa ),$

где $\operatorname {sn}$ — это синус Якоби. Для $\varkappa <1$ он является периодической функцией, при малых $\varkappa$ совпадает с обычным тригонометрическим синусом.

Параметр $\varkappa$ определяется выражением

$\varkappa ={\frac {\varepsilon +\omega _{0}^{2}}{2\omega _{0}^{2}}},\quad \varepsilon ={\frac {E}{mL^{2}}}$.

Период колебаний нелинейного маятника составляет

$T={\frac {2\pi }{\Omega }},\quad \Omega ={\frac {\pi }{2}}{\frac {\omega _{0}}{K(\varkappa )}}$,

где K — эллиптический интеграл первого рода.

Для вычислений практически удобно разлагать эллиптический интеграл в ряд:

$T=T_{0}\left\{1+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}\sin ^{2}\left({\frac {\theta _{0}}{2}}\right)+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}\sin ^{4}\left({\frac {\theta _{0}}{2}}\right)+\dots +\left[{\frac {\left(2n-1\right)!!}{\left(2n\right)!!}}\right]^{2}\sin ^{2n}\left({\frac {\theta _{0}}{2}}\right)+\dots \right\}$

где $T_{0}=2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}$ — период малых колебаний, $\theta _{0}$ — максимальный угол отклонения маятника от вертикали.

При углах до 1 радиана (≈ 60°) с приемлемой точностью (ошибка менее 1 %) можно ограничиться первым приближением:

$T=T_{0}\left(1+{\frac {1}{4}}\sin ^{2}\left({\frac {\theta _{0}}{2}}\right)\right)$.

Точная формула периода, с квадратичной сходимостью для любого угла максимального отклонения, обсуждается на страницах сентябрьского выпуска журнала «Заметки американского математического общества» 2012 года:

$T={\frac {2\pi }{M{\big (}\cos(\theta _{0}/2){\big )}}}{\sqrt {\frac {L}{g}}}$,

где $M(s)$ — арифметико-геометрическое среднее чисел 1 и $s$^[чего?].

Движение по сепаратрисе

Движение маятника по сепаратрисе является непериодическим. В бесконечно далёкий момент времени он начинает падать из крайнего верхнего положения в какую-то сторону с нулевой скоростью, постепенно набирает её, а затем останавливается, возвратившись в исходное положение.

Факты

Несмотря на свою простоту, математический маятник связан с рядом интересных явлений.

• Если амплитуда колебания маятника близка к $\pi$, то есть движение маятника на фазовой плоскости близко к сепаратрисе, то под действием малой периодической вынуждающей силы система демонстрирует хаотическое поведение. Это одна из простейших механических систем, в которой хаос возникает под действием периодического возмущения.
• Если точка подвеса не неподвижна, а совершает колебания, то у маятника может появиться новое положение равновесия. Если точка подвеса достаточно быстро колеблется вверх-вниз, то маятник приобретает устойчивое положение «вверх тормашками». Такая система называется маятником Капицы.
• В условиях вращения Земли при достаточно длинной нити подвеса плоскость, в которой маятник совершает колебания, будет медленно поворачиваться относительно земной поверхности в сторону, противоположную направлению вращения Земли (маятник Фуко).

См. также

• Физический маятник
• Маятник Фуко
• Маятник Дубошинского

Ссылки

• Коллекция Java-апплетов, моделирующая поведение математических маятников, в частности маятника Капицы.
• Java-апплет, моделирующий колебание математического маятника при наличии вязкого трения с черчением фазовой траектории.
• Учебный фильм «Математический и физический маятник», производство СССР