Открыть главное меню
Simple pendulum height.png

Математи́ческий ма́ятник — осциллятор, представляющий собой механическую систему, состоящую из материальной точки на конце невесомой нерастяжимой нити или лёгкого стержня и находящуюся в однородном поле сил тяготения[1]. Другой конец нити (стержня) обычно неподвижен. Период малых собственных колебаний маятника длины L, подвешенного в поле тяжести, равен

и не зависит, в первом приближении, от амплитуды колебаний и массы маятника. Здесь gускорение свободного падения.

Математический маятник служит простейшей моделью физического тела, совершающего колебания: она не учитывает распределение массы. Однако реальный физический маятник при малых амплитудах колеблется так же, как математический с приведённой длиной.

Содержание

Характер движения маятникаПравить

Математический маятник со стержнем способен колебаться только в какой-то одной плоскости (вдоль какого-то выделенного горизонтального направления) и, следовательно, является системой с одной степенью свободы. Если же стержень заменить на нерастяжимую нить, получится система с двумя степенями свободы (так как становятся возможными колебания по двум горизонтальным координатам).

При колебаниях в одной плоскости маятник движется по дуге окружности радиуса  , а при наличии двух степеней свободы может описывать кривые на сфере того же радиуса[1]. Нередко, в том числе в случае нити, ограничиваются анализом плоского движения; оно и рассматривается далее.

Уравнение колебаний маятникаПравить

Колебания математического маятника описываются обыкновенным дифференциальным уравнением (ДУ) вида

 

где   ― положительная константа, определяемая исключительно из параметров маятника. Неизвестная функция   ― это угол отклонения маятника в момент   от нижнего положения равновесия, выраженный в радианах;  , где   ― длина подвеса,  ускорение свободного падения. Уравнение малых колебаний маятника около нижнего положения равновесия (т. н. гармоническое уравнение) имеет вид:

 

Приведённые уравнения предполагают, что потерь энергии в системе нет.

Решения уравнения движенияПравить

Гармонические колебанияПравить

Малые колебания маятника являются гармоническими. Это означает, что смещение маятника от положения равновесия изменяется во времени по синусоидальному закону[2]. Поскольку уравнение движения является обыкновенным ДУ второго порядка, для определения закона движения маятника необходимо задать два начальных условия — координату и скорость, из которых определяются две независимые константы:

 

где   — амплитуда колебаний маятника,   — начальная фаза колебаний,   — циклическая частота, которая определяется из уравнения движения. Движение, совершаемое маятником, называется гармоническими колебаниями.

Нелинейный маятникПравить

Для маятника, совершающего колебания с большой амплитудой, закон движения более сложен:

 

где   — это синус Якоби. Для   он является периодической функцией, при малых   совпадает с обычным тригонометрическим синусом.

Параметр   определяется выражением

 

где   — энергия маятника в единицах t−2.

Период колебаний нелинейного маятника составляет

 

где K — эллиптический интеграл первого рода.

Для вычислений практически удобно разлагать эллиптический интеграл в ряд:

 ,

где   — период малых колебаний,   — максимальный угол отклонения маятника от вертикали.

При углах до 1 радиана (≈60°) с приемлемой точностью (ошибка менее 1 %) можно ограничиться первым приближением:

 

Точная формула периода, с квадратичной сходимостью для любого угла максимального отклонения, обсуждается на страницах сентябрьского выпуска журнала «Заметки американского математического общества» 2012 года[3]:

 

где  арифметико-геометрическое среднее чисел 1 и  .

Движение по сепаратрисеПравить

Движение маятника по сепаратрисе является непериодическим. В бесконечно далёкий момент времени он начинает падать из крайнего верхнего положения в какую-то сторону с нулевой скоростью, постепенно набирает её, а затем останавливается, возвратившись в исходное положение.

ФактыПравить

Несмотря на свою простоту, математический маятник связан с рядом интересных явлений.

  • Если амплитуда колебания маятника близка к  , то есть движение маятника на фазовой плоскости близко к сепаратрисе, то под действием малой периодической вынуждающей силы система демонстрирует хаотическое поведение. Это одна из простейших механических систем, в которой хаос возникает под действием периодического возмущения[4].
  • Если точка подвеса не неподвижна, а совершает колебания, то у маятника может появиться новое положение равновесия. Если точка подвеса достаточно быстро колеблется вверх-вниз, то маятник приобретает устойчивое положение «вверх тормашками». Такая система называется маятником Капицы.
  • В условиях вращения Земли при достаточно длинной нити подвеса плоскость, в которой маятник совершает колебания, будет медленно поворачиваться относительно земной поверхности в сторону, противоположную направлению вращения Земли (маятник Фуко).

ПримечанияПравить

  1. 1 2 Маятник — Статья в Физическом энциклопедическом словаре
  2. Скорость и ускорение маятника при гармонических колебаниях также изменяются во времени по синусоидальному закону.
  3. Adlaj S. An Eloquent Formula for the Perimeter of an Ellipse (англ.) // Notices of the AMS. — 2012. — Vol. 59, no. 8. — P. 1096—1097. — ISSN 1088-9477.
  4. В. В. Вечеславов. Хаотический слой маятника при низких и средних частотах возмущений // Журнал технической физики. — 2004. — Т. 74, № 5. — С. 1—5.

СсылкиПравить

См. такжеПравить