Физический маятник

Физи́ческий ма́ятник — осциллятор, представляющий собой твёрдое тело, совершающее колебания в поле каких-либо сил относительно точки, не являющейся центром масс этого тела, или неподвижной оси, перпендикулярной направлению действия сил и не проходящей через центр масс этого тела.

Дифференциальное уравнение движения физического маятника

Физический маятник.
$O$ — ось подвеса;
$N$ — реакция оси подвеса;
$G$ — центр тяжести;
$O'$ — центр качания;
$\lambda$ — приведённая длина;
$\theta$ — угол отклонения маятника от равновесия;
$\alpha$ — начальный угол отклонения маятника;
$m$ — масса маятника;
$h$ — расстояние от точки подвеса до центра тяжести маятника;
$g$ — ускорение свободного падения.

Момент инерции относительно оси, проходящей через точку подвеса, по теореме Штейнера:

$I=I_{0}+mh^{2}=m\left(r^{2}+h^{2}\right)$,

где $I_{0}$ — момент инерции относительно оси, проходящей через центр тяжести; $r$ — эффективный радиус инерции относительно оси, проходящей через центр тяжести.

Динамическое уравнение произвольного вращения твёрдого тела:

$I{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}=-M_{s}$,

где $M_{s}$ — суммарный момент сил, действующих на тело относительно оси вращения.

$M_{s}=M+M_{f}$,

где $M$ — момент сил, вызванный силой тяжести; $M_{f}$ — момент сил, вызванный силами трения среды.

Момент, вызванный силой тяжести, зависит от угла отклонения тела от положения равновесия:

$M=mgh\sin \theta$.

Если пренебречь сопротивлением среды, дифференциальное уравнение колебаний физического маятника в поле силы тяжести:

$I{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}=-mgh\sin \theta$.

Если разделить обе части уравнения на $h$ и положить

$\lambda ={\frac {r^{2}+h^{2}}{h}}={\frac {r^{2}}{h}}+h$,

получим:

$\lambda {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}=-g\sin \theta$.

Такое уравнение аналогично уравнению колебаний математического маятника длиной $\lambda$. Величина $\lambda$ называется приведённой длиной физического маятника.

Центр качания физического маятника. Теорема Гюйгенса

Центр качания — точка, в которой надо сосредоточить всю массу физического маятника, чтобы его период колебаний не изменился.

Поместим на луче, проходящем от точки подвеса через центр тяжести, точку на расстоянии $\lambda$ от точки подвеса. Эта точка и будет центром качания маятника.

Действительно, если всю массу сосредоточить в центре качания, то центр качания будет совпадать с центром тяжести. Тогда момент инерции относительно оси подвеса будет равен $I=m\lambda ^{2}$, а момент силы тяжести относительно той же оси $-mg\lambda \sin \theta$. При этом уравнение движения не изменится.

Согласно теореме Гюйгенса,

Если физический маятник подвесить за центр качания, то его период колебаний не изменится, а прежняя точка подвеса сделается новым центром качания.

Вычислим приведённую длину для нового маятника:

$\lambda _{1}={\frac {r^{2}}{r^{2}/h}}+{\frac {r^{2}}{h}}=h+{\frac {r^{2}}{h}}=\lambda$.

Совпадение приведённых длин для двух случаев и доказывает утверждение, сделанное в теореме.

Период колебаний физического маятника

Наиболее общий случай

Для того, чтобы найти период колебаний физического маятника, необходимо решить уравнение качания.

Для этого умножим левую $\lambda {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}=\lambda {\frac {d}{dt}}\left({\frac {d\theta }{dt}}\right)$ и правую часть этого уравнения на $d\theta$. Тогда:

$\lambda {\frac {d\theta }{dt}}d\left({\frac {d\theta }{dt}}\right)=-g\sin \theta \,d\theta$.

Интегрируя это уравнение, получаем:

$\lambda \left({\frac {d\theta }{dt}}\right)^{2}=2g\cos \theta +C$,

где $C$ — произвольная постоянная. Её можно найти из условия, что в ситуациях, когда $\theta =\pm \alpha$, должно быть ${\frac {d\theta }{dt}}=0$ ($\alpha$ — максимальный угол отклонения). Получаем:

$C=-2g\cos \alpha .$

Подставляем и преобразовываем получившееся уравнение:

${\frac {d\theta }{dt}}=2{\sqrt {\frac {g}{\lambda }}}{\sqrt {\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}-\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}}}.$

Отделяем переменные и интегрируем это уравнение:

${\sqrt {\frac {g}{\lambda }}}t=\int \limits _{0}^{\frac {\theta }{2}}{\frac {d\left({\frac {\theta }{2}}\right)}{\sqrt {\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}-\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}}}}$.

Удобно сделать замену переменной полагая $\sin {\frac {\theta }{2}}=\sin {\frac {\alpha }{2}}\sin \varphi$. Тогда искомое уравнение принимает вид:

$t={\sqrt {\frac {\lambda }{g}}}\int \limits _{0}^{\varphi }{\frac {d\varphi }{\sqrt {1-\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}\sin ^{2}\varphi }}}={\sqrt {\frac {\lambda }{g}}}F\left(\varphi \setminus \alpha /2\right).$

Здесь $F\left(\varphi \setminus \alpha \right)$ — нормальный эллиптический интеграл Лежандра 1-го рода. Для периода колебаний получаем формулу:

$T=4{\sqrt {\frac {\lambda }{g}}}\,\int \limits _{0}^{\pi /2}{\frac {d\varphi }{\sqrt {1-\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}\sin ^{2}\varphi }}}=4{\sqrt {\frac {\lambda }{g}}}\,K\left(\sin {\frac {\alpha }{2}}\right).$

Здесь $K\left(\sin {\frac {\alpha }{2}}\right)$ — полный нормальный эллиптический интеграл Лежандра 1-го рода. Раскладывая его в ряд, можно получить удобную для практических вычислений формулу:

$T=2\pi {\sqrt {\frac {\lambda }{g}}}\left\{1+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}\sin ^{2}\left({\frac {\alpha }{2}}\right)+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}\sin ^{4}\left({\frac {\alpha }{2}}\right)+\dots +\left[{\frac {\left(2n-1\right)!!}{\left(2n\right)!!}}\right]^{2}\sin ^{2n}\left({\frac {\alpha }{2}}\right)+\dots \right\}.$

Период малых колебаний физического маятника

Если $\alpha \ll 1$ — случай малых максимальных угловых отклонений от равновесия $|\theta |<\alpha$ — то $\sin \theta \approx \theta$ так как разложение синуса в ряд Маклорена $\sin \theta \approx \theta -\theta ^{3}/3\dots$ и уравнения движения переходит в уравнение гармонического осциллятора без трения:

$\lambda {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}=-g\theta .$

Период колебания маятника в этом случае:

$T=2\pi {\sqrt {\frac {\lambda }{g}}}.$

В иной формулировке: если амплитуда колебаний $\alpha$ мала, то корень в знаменателе эллиптического интеграла приближённо равен единице. Такой интеграл легко берётся, и получается хорошо известная формула малых колебаний:

$T=2\pi {\sqrt {\frac {\lambda }{g}}}=2\pi {\sqrt {\frac {I}{mgh}}}.$

Эта формула даёт результаты приемлемой точности (ошибка менее 1 %) при углах, не превышающих 4°.

Следующий порядок приближения можно использовать с приемлемой точностью (ошибка менее 1 %) при углах отклонения до 1 радиана (≈57°):

$T\approx 2\pi {\sqrt {\frac {\lambda }{g}}}\left(1+{\frac {1}{4}}\sin ^{2}\left({\frac {\alpha }{2}}\right)\right)={\frac {\pi }{4}}{\sqrt {\frac {\lambda }{g}}}\left(9-\cos {\alpha }\right).$

См. также

• Математический маятник
• Маятник Дубошинского

Ссылки

• маятник — статья из Большой советской энциклопедии.