Момент силы

Моме́нт си́лы (момент силы относительно точки; также: кру́тящий момент, враща́тельный момент, вертя́щий момент, враща́ющий момент) — векторная физическая величина, характеризующая действие силы на механический объект, которое может вызвать его вращательное движение. Определяется как векторное произведение радиус-вектора точки приложения силы и вектора силы .

Момент силы
Размерность L2MT−2
Единицы измерения
СИ Н·м
СГС Дина-сантиметр
Примечания
Псевдовектор

Момент силы обозначается символом или, реже, (тау). Единица измерения в СИ: Н⋅м. Величина момента силы зависит от выбора начала отсчёта радиус-векторов O.

Понятие момента силы используется, в основном, в области задач статики и задач, связанных с вращением деталей (рычагов и др.) в технической механике. Особенно важен случай вращения твёрдого тела вокруг фиксированной оси — тогда O выбирают на этой оси, а вместо самого момента рассматривают его проекцию на ось ; такая проекция называется моментом силы относительно оси.

Наличие момента силы влечёт изменение момента импульса тела относительно того же начала O со временем : имеет место соотношение . В статике, равенство нулю суммы моментов всех приложенных к телу сил является одним из условий (наряду с равенством нулю суммы сил) реализации состояния покоя.

Определение, общие сведенияПравить

В физике момент силы играет роль вращающего воздействия на тело.

Видеоурок: вращающий момент

В простейшем случае, если сила   приложена к рычагу перпендикулярно ему и оси вращения, то момент силы определяется как произведение величины   на расстояние   от места приложения силы до оси вращения рычага, называемое «плечом силы»:

 .

Например, сила в 3 ньютона, приложенная на расстоянии 2 м от оси, создаёт такой же момент, что и сила в 1 ньютон с плечом 6 м.

Если действуют две силы, говорят о моменте пары сил (такая формулировка восходит к трудам Архимеда). При этом равновесие достигается в ситуации  .

Для случаев более сложных движений и более сложных объектов, определение момента как произведения   требует универсализации.

Момент силы иногда называют вращающим или крутящим моментом. «Вращающий» момент понимается в технике как внешнее усилие, прикладываемое к объекту, а «крутящий» — как внутреннее, возникающее в самом объекте под действием приложенных нагрузок (этим понятием оперируют в сопромате).

Момент силы относительно точкиПравить

 
Момент силы, приложенный к гаечному ключу. Направлен от зрителя

В общем случае, момент силы  , приложенной к телу, определяется как векторное произведение

 ,

где   — радиус-вектор точки приложения силы. Вектор   перпендикулярен векторам   и  .

Начало отсчета радиус-векторов O может быть любым. Обычно O выбирают в чем-либо выделенной точке: в месте закрепления подвеса, в центре масс, на оси вращения и т.д.. Если одновременно анализируется момент импульса тела  , то начало O всегда выбирается одинаковым для   и  .

Если не оговорено иное, то «момент силы» — это момент силы относительно точки (O), а не некоей оси.

В случае нескольких приложенных сосредоточенных сил их моменты векторно суммируются:

 ,

где   — радиус-вектор точки приложения  -й силы  . В случае силы, распределённой с плотностью  ,

 .

Если   (Н/м3) — обобщённая функция, которая может содержать и дельтаобразные члены, то последней формулой охватываются и две предыдущие.

Момент силы относительно осиПравить

Моментом силы относительно оси называется алгебраическое значение проекции момента   на ось, то есть

 ,

где   — единичный вектор вдоль оси, а начало отсчёта O выбрано на оси. Момент силы относительно оси может быть рассчитан как

 ,

где через   и   обозначены составляющие радиус-вектора и силы в плоскости, перпендикулярной оси.

В отличие от момента силы  , величина момента силы относительно оси   не претерпевает изменения при сдвиге точки O вдоль оси.

Для краткости, символ параллельности и знак могут опускаться, а   (как и  ) именоваться «моментом силы».

Единицы измеренияПравить

Момент силы имеет размерность «сила, умноженная на расстояние» и единицу измерения ньютон-метр (джоуль) в системе СИ. 1 Н·м — это момент, который производит сила 1 Н на рычаг длиной 1 м, приложенная к концу рычага и направленная перпендикулярно ему.

Размерность   совпадает с размерностями энергии и механической работы.

Некоторые примерыПравить

Формула момента рычагаПравить

 
Момент, действующий на рычаг

Момент силы, действующей на рычаг, равен

 

или, если записать момент силы относительно оси,

 ,

где   — угол между направлением силы и рычагом. Плечо силы равно  . Максимальное значение момента достигается при перпендикулярности рычага и силы, то есть при  . При сонаправленности   и рычага момент равен нулю.

Статическое равновесиеПравить

Для того чтобы объект находился в равновесии, должна равняться нулю не только сумма всех сил, но и сумма моментов всех сил вокруг любой точки.

Для двумерного случая с горизонтальными и вертикальными силами требование сводится к тому, чтобы нулевыми были сумма сил в двух измерениях:   и момент силы в третьем измерении:  .

Движение твёрдого телаПравить

Движение твёрдого тела можно представить как движение конкретной точки и вращения вокруг неё.

Момент импульса относительно точки O твёрдого тела может быть описан через произведение момента инерции и угловой скорости относительно центра масс и линейного движения центра масс.

 

Будем рассматривать вращающиеся движения в системе координат Кёнига, так как описывать движение твёрдого тела в мировой системе координат гораздо сложнее.

Продифференцируем это выражение по времени. И если   — постоянная величина во времени, то

 

где   — угловое ускорение, измеряемое в радианах в секунду за секунду (рад/с2). Пример: вращается однородный диск.

Если тензор инерции меняется со временем, то движение относительно центра масс описывается с помощью динамического уравнения Эйлера:

 

Связь с другими величинамиПравить

С моментом импульсаПравить

 
Зависимости между силой F, моментом силы τ (M), импульсом p и моментом импульса L в системе, которая была ограничена только в одной плоскости (силы и моменты, обусловленные тяжестью и трением, не учитываются).

Момент силы — производная момента импульса   относительно точки O по времени:

 ,

Аналогичную формулу можно записать для моментов относительно оси:

 .

Если момент силы   или   равен нулю, момент импульса относительно соответствующей точки или оси сохраняется.

С мощностьюПравить

Если сила совершает действие на каком-либо расстоянии, то она совершает механическую работу и развивает мощность   (где   — скорость материальной точки). Так же и в случае момента силы: если он совершает действие через «угловое расстояние», развивается мощность

 .

В системе СИ мощность   измеряется в ваттах, угловая скорость   — в радианах в секунду.

С механической работойПравить

Если под действием момента силы   происходит поворот тела на угол  , то совершается механическая работа

 .

Для поворота, скажем, рычага вокруг фиксированной оси на угол   получим

 .

В системе СИ работа   измеряется в джоулях, угол — в радианах.

Размерность работы (и энергии) совпадает с размерностью момента силы («ньютон на метр» и джоуль — это одни и те же единицы). Момент силы 1 Н·м, при повороте рычага или вала на 1 радиан совершает работу в 1 Дж, а при повороте на один оборот совершает механическую работу и сообщает энергию   джоуля.

Измерение момента силыПравить

Измерение момента силы осуществляется с помощью специальных приборов — торсиометров. Принцип их действия обычно основан на измерении угла закручивания упругого вала, передающего крутящий момент, либо на измерении деформации некоторого упругого рычага. Измерения деформации и угла закручивания производится различными датчиками деформации — тензометрическими, магнитоупругими, а также измерителями малых перемещений — оптическими, ёмкостными, индуктивными, ультразвуковыми, механическими.

Существуют специальные динамометрические ключи для измерения крутящего момента затягивания резьбовых соединений и регулируемые и нерегулируемые ограничители крутящего момента, так называемые «трещотки», применяемые в гаечных ключах, шуруповёртах, винтовых микрометрах и др.

Из истории понятияПравить

Для того чтобы понять, откуда появилось понятие момента сил и как к нему пришли, стоит рассмотреть действие силы на рычаг, поворачивающийся относительно неподвижной оси. Работа, совершаемая при действии силы   на рычаг  , совершающий вращательное движение вокруг неподвижной оси, может быть рассчитана исходя из следующих соображений.

Пусть под действием силы конец рычага смещается на бесконечно малый отрезок  , которому соответствует бесконечно малый угол  . Обозначим через   вектор, который направлен вдоль бесконечно малого отрезка   и равен ему по модулю. Угол между векторами   и   равен  , а угол между векторами   и   равен  .

Следовательно, бесконечно малая работа  , совершаемая силой   на бесконечно малом участке  , равна скалярному произведению вектора   и вектора силы, то есть  .

Теперь попытаемся выразить модуль вектора   через радиус-вектор  , а проекцию вектора силы   на вектор   — через угол  .

Так как для бесконечно малого перемещения рычага   можно считать, что траектория перемещения перпендикулярна рычагу  , используя соотношения для прямоугольного треугольника, можно записать следующее равенство:  , где в случае малого угла справедливо   и, следовательно,  .

Для проекции вектора силы   на вектор   видно, что угол  , а так как  , получаем, что  .

Теперь запишем бесконечно малую работу через новые равенства:  , или  .

Видно, что произведение   есть не что иное, как модуль векторного произведения векторов   и  , то есть  , которое и было принято обозначить за момент силы  , или модуль вектора момента силы  .

Теперь полная работа записывается просто:  , или  .

См. такжеПравить