Открыть главное меню

Момент силы (синонимы: крутящий момент, вращательный момент, вертящий момент, вращающий момент) — векторная физическая величина, равная векторному произведению вектора силы и радиус-вектора, проведённого от оси вращения к точке приложения этой силы. Характеризует вращательное действие силы на твёрдое тело.

Момент силы
Размерность L2MT−2
Единицы измерения
СИ Н·м
СГС Дина-сантиметр
Примечания
Псевдовектор
Момент силы, приложенный к гаечному ключу. Направлен от зрителя
Зависимости между силой F, моментом силы τ (M), импульсом p и моментом импульса L в системе, которая была ограничена только в одной плоскости (силы и моменты, обусловленные тяжестью и трением, не учитываются).

Понятия «вращающий» и «крутящий» моменты в общем случае не тождественны, так как в технике понятие «вращающий» момент рассматривается как внешнее усилие, прикладываемое к объекту, а «крутящий» — внутреннее усилие, возникающее в объекте под действием приложенных нагрузок (этим понятием оперируют в сопротивлении материалов).

Содержание

Общие сведенияПравить

В физике момент силы можно понимать как «вращающая сила». В Международной системе единиц (СИ) единицей измерения момента силы является ньютон-метр. Момент силы иногда называют моментом пары сил, это понятие возникло в трудах Архимеда над рычагами. В простейшем случае, если сила приложена к рычагу перпендикулярно ему, момент силы определяется как произведение величины этой силы на расстояние до оси вращения рычага. Например, сила в 3 ньютона, приложенная к рычагу на расстоянии 2 метра от его оси вращения, создаёт такой же момент, что и сила в 1 ньютон, приложенная к рычагу на расстоянии 6 метров от оси вращения. Более точно момент силы частицы определяется как векторное произведение:

 

где   — сила, действующая на частицу, а   — радиус-вектор частицы.

ПредысторияПравить

Для того чтобы понять, откуда появилось обозначение момента сил и как к нему пришли, стоит рассмотреть действие силы на рычаг, поворачивающийся относительно неподвижной оси. Работа, совершаемая при действии силы   на рычаг  , совершающий вращательное движение вокруг неподвижной оси, может быть рассчитана исходя из следующих соображений.

Пусть под действием этой силы конец рычага смещается на бесконечно малый отрезок  , которому соответствует бесконечно малый угол  . Обозначим через   вектор, который направлен вдоль бесконечно малого отрезка   и равен ему по модулю. Угол между вектором силы   и вектором   равен  , а угол между векторами   и   —  .

Следовательно, бесконечно малая работа  , совершаемая силой   на бесконечно малом участке  , равна скалярному произведению вектора   и вектора силы, то есть  .

Теперь попытаемся выразить модуль вектора   через радиус-вектор  , а проекцию вектора силы   на вектор   — через угол  .

Так как для бесконечно малого перемещения рычага   можно считать, что траектория перемещения перпендикулярна рычагу  , используя соотношения для прямоугольного треугольника, можно записать следующее равенство:  , где в случае малого угла справедливо   и, следовательно,  .

Для проекции вектора силы   на вектор   видно, что угол  , а так как  , получаем, что  .

Теперь запишем бесконечно малую работу через новые равенства:  , или  .

Теперь видно, что произведение   есть не что иное, как модуль векторного произведения векторов   и  , то есть  , которое и было принято обозначить за момент силы  , или модуль вектора момента силы  .

Теперь полная работа записывается просто:  , или  .

ЕдиницыПравить

Момент силы имеет размерность «сила на расстояние» и единицу измерения ньютон-метр в системе СИ. Энергия и механическая работа также имеют размерность «сила на расстояние» и измеряются в системе СИ в джоулях. Следует заметить, что энергия — это скалярная величина, тогда как момент силы — величина (псевдо) векторная. Совпадение размерностей этих величин не случайность: момент силы 1 Н·м, приложенный через целый оборот, совершает механическую работу и сообщает энергию   джоулей. Математически:

 

где   — энергия,   — вращающий момент,   — угол в радианах.

Специальные случаиПравить

Формула момента рычагаПравить

 
Момент, действующий на рычаг

Очень интересен особый случай, представляемый как определение момента силы в поле:

 

где:   — момент рычага,   — величина действующей силы.

Недостаток такого представления в том, что оно не дает направления момента силы, а только его величину. Если сила перпендикулярна вектору  , момент рычага будет равен расстоянию от центра до точки приложения силы и момент силы будет максимален:

 

Сила под угломПравить

Если сила   направлена под углом   к рычагу r, то  .

Статическое равновесиеПравить

Для того чтобы объект находился в равновесии, должна равняться нулю не только сумма всех сил, но и сумма всех моментов силы вокруг любой точки. Для двумерного случая с горизонтальными и вертикальными силами: сумма сил в двух измерениях   и момент силы в третьем измерении  .

Момент силы как функция от времениПравить

Момент силы — производная по времени от момента импульса,

Видеоурок: вращающий момент
 

где   — момент импульса.

Возьмём твердое тело. Движение твёрдого тела можно представить как движение конкретной точки и вращения вокруг неё.

Момент импульса относительно точки O твёрдого тела может быть описан через произведение момента инерции и угловой скорости относительно центра масс и линейного движения центра масс.

 

Будем рассматривать вращающиеся движения в системе координат Кёнига, так как описывать движение твёрдого тела в мировой системе координат гораздо сложнее.

Продифференцируем это выражение по времени. И если   — постоянная величина во времени, то

 

где   — угловое ускорение, измеряемое в радианах в секунду за секунду (рад/с2). Пример: вращается однородный диск.

Если тензор инерции меняется со временем, то движение относительно центра масс описывается с помощью динамического уравнения Эйлера:

 

Отношение между моментом силы и мощностьюПравить

Если сила совершает действие на каком-либо расстоянии, то она совершает механическую работу. Так же и момент силы, если совершает действие через угловое расстояние, он совершает работу.

 

В системе СИ мощность   измеряется в Ваттах, момент силы — в ньютон-метрах, а угловая скорость — в радианах в секунду.

Отношение между моментом силы и работойПравить

 

В случае постоянного момента получаем:

 

В системе СИ работа   измеряется в джоулях, момент силы — в ньютон·метр, а угол — в радианах.

Обычно известна угловая скорость   в радианах в секунду и время действия момента  .

Тогда совершённая моментом силы работа рассчитывается как:

 

Момент силы относительно точкиПравить

Если имеется материальная точка  , к которой приложена сила  , то момент силы относительно точки   равен векторному произведению радиус-вектора  , соединяющего точки   и  , на вектор силы  :

 

Момент силы относительно осиПравить

Момент силы относительно оси равен алгебраическому моменту проекции этой силы на плоскость, перпендикулярную этой оси относительно точки пересечения оси с плоскостью, то есть

 

Единицы измеренияПравить

Момент силы измеряется в ньютон-метрах. 1 Н·м — это момент, который производит сила 1 Н на рычаг длиной 1 м, приложенная к концу рычага и направленная перпендикулярно ему.

Измерение момента силыПравить

На сегодняшний день измерение момента силы осуществляется с помощью тензометрических, оптических и индуктивных датчиков нагрузки.

См. такжеПравить