Открыть главное меню

Тангенциальное ускорение

Разложение ускорения на тангенциальное и нормальное; ( — единичный касательный вектор)

Тангенциа́льное ускоре́ние  — компонента ускорения, направленная по касательной к траектории движения. Характеризует изменение модуля скорости в отличие от нормальной компоненты, характеризующей изменение направления скорости. Тангенциальное ускорение равно произведению единичного вектора, направленного по скорости движения, на производную модуля скорости по времени. Таким образом, направлено в ту же сторону, что и вектор скорости при ускоренном движении (положительная производная) и в противоположную при замедленном (отрицательная производная).

Обозначается обычно символом, выбранным для ускорения, с добавлением индекса, обозначающего тангенциальную компоненту: или , , и т. д.

Иногда используется не векторная форма, а скалярная — , обозначающая проекцию полного вектора ускорения на единичный вектор касательной к траектории, что соответствует коэффициенту разложения по сопутствующему базису.

ФормулаПравить

Величину тангенциального ускорения как проекцию вектора ускорения на касательную к траектории можно выразить так:

 

где   — путевая скорость вдоль траектории, совпадающая с абсолютной величиной мгновенной скорости в данный момент.

Если использовать для единичного касательного вектора обозначение  , то можно записать тангенциальное ускорение в векторном виде:

 

Типовые задачиПравить

Задача 1Править

Пусть координата тела зависит от времени по следующему закону:  где  - единичные вектора в декартовых координатах. Найти тангенциальное ускорение тела.


Решение 1Править

Найдём тангенциальное ускорение по определению:  

Решение 2Править

Найдём траекторию тела:   Это значит, что траектория тела - окружность с радиусом 1. Данная траектория и уравнение движения говорят о том, что величина скорости тела постоянна, следовательно тангенциальное ускорение отсутствует.


ВыводПравить

Вывод 1Править

В большинстве случаев ускорение направлено под некоторым углом к скорости. Составляющую ускорения, которая направлена вдоль скорости, называют тангенциальным ускорением. Тангенциальное ускорение описывает быстроту изменения скорости по модулю:


Вывод 2Править

Если траектория гладкая (что предполагается), то:

  • изменения направления вектора   дадут в проекции на касательную малую величину не ниже второго порядка по  , которой можно поэтому пренебречь.
  • изменение длины вектора   будет отличаться от проекции изменения   на касательную тоже на величину не ниже второго порядка.

То и другое следует из того, что угол вектора   к касательной будет не ниже первого порядка по  . Отсюда сразу же следует искомая формула.

Говоря менее строго, проекция   на касательную при малых   будет практически совпадать с длиной вектора  , поскольку угол отклонения этого вектора от касательной при малых   всегда мал, а значит косинус этого угла можно считать равным единице [1].

ЗамечанияПравить

Абсолютная величина тангенциального ускорения зависит только от путевого ускорения, совпадая с его абсолютной величиной, в отличие от абсолютной величины нормального ускорения, которая от путевого ускорения не зависит, зато зависит от путевой скорости.

ПримечанияПравить

  1. Для определенности можем выбрать ту касательную, на которой лежит  , тогда   будет, очевидно, составлять с ним — а значит и с ней — малый угол из-за малости  ; это тем более будет выполняться для любых промежутков времени, меньших чем  .