Тангенциальное ускорение

Тангенциа́льное ускоре́ние  — компонента ускорения, направленная по касательной к траектории движения. Характеризует изменение модуля скорости, в отличие от нормальной компоненты, характеризующей изменение направления скорости.

Разложение ускорения на тангенциальное и нормальное ( — единичный касательный вектор)

Определяется как производная модуля скорости по времени, умноженная на единичный вектор вдоль скорости. Обозначается символом, выбранным для ускорения, с добавлением индекса тангенциальной компоненты: или , , . Измеряется в м/с2 (в системе СИ).

Величина равна проекции полного ускорения на касательную в данной точке кривой, что соответствует коэффициенту разложения по сопутствующему базису.

Общая формулаПравить

Величину тангенциального ускорения как проекцию вектора ускорения на касательную к траектории можно выразить так:

 ,

где   — путевая скорость вдоль траектории, совпадающая с абсолютной величиной мгновенной скорости в данный момент.

Если использовать для единичного касательного вектора обозначение  , то можно записать тангенциальное ускорение в векторном виде:

 .

Тангенциальное ускорение   параллельно вектору скорости   при ускоренном движении (положительная производная) и антипараллельно при замедленном (отрицательная производная).

Происхождение формулыПравить

Разложение полного ускорения на тангенциальную и нормальную компоненты осуществляется посредством дифференцирования по времени вектора скорости, представленного в виде   через единичный вектор касательной  :

 .

Первое слагаемое — тангенциальное ускорение  , а второе — нормальное ускорение   (  и   — радиус кривизны и единичный вектор нормали к траектории в рассматриваемой точке).

Некоторые примерыПравить

Пример 1

Скорость камня, сброшенного с высоты с начальной скоростью  , направленной горизонтально, до падения на землю будет изменяться как  , где  ускорение свободного падения. Модуль скорости составит  , а значит, тангенциальное ускорение по величине равняется  . В начальный момент оно равно нулю, а при больших   стремится к  . Можно записать тангенциальное ускорение и как вектор:

 .

В этих выражениях  ,   — единичные векторы в декартовых координатах.

Пример 2

Пусть радиус-вектор тела зависит от времени по закону  .

В таком случае скорость тела найдётся как  . Соответственно, её модуль равен   и является постоянной величиной. В результате получается, что тангенциальное ускорение — ноль:

 .

Рассмотренная зависимость   описывает равномерное движение по окружности радиусом  .

РавнопеременностьПравить

Движение тела с постоянным по величине тангенциальным ускорением называется равнопеременным. Слова «равнопеременное» ( const) и «равноускоренное» ( const) не синонимичны. Взаимозаменяемыми данные термины становятся только применительно к прямолинейному движению. Тем не менее возможны определённые аналогии при рассмотрении обоих названных типов движения.